,所以原级数收敛从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子这把尺子精确度的限制值得注意的是这个精确化的过程是没有尽头的,因为杜布洼雷知恩曾证明任何收敛的正项级数,都有比它收敛得更快的级数存在还有人证明任何发散的正项级数也有比它发散得更慢的级数存在这说明没有收敛的最快的级数,也没用发散的最慢的级数,所以要想建立种对切正项级数都有效的比较标准是不可能的积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性定理积分判别法设为,上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散证明由假设为,上非负减函数,对任何正数,在,上可积,从而有,依次相加可得若反常积分收敛,则由式左边，对任何正整数，有根据定理,级数收敛反之,若为收敛级数,则由式右边，对任正整数有因为为非负减函数,故对任何正数,都有,根据式得反常积分收敛用同样的方法,可以证明与是同时发散的利用积分判别法判别正项级数正整数,的敛散性的方法是把中的换成连续变量,若是,上广义单调减少的正值连续函数,则与有相同的敛散性,判别出广义积分的敛散性就可知道所给级数的敛散性当的敛散性容易判别时,用积分判别法比较方便比如形如等类级数的敛散性均可用积分判别法断定例判别级数的敛散性分析因为将换成连续变量,即是，显然函数在,是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法解将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛例证明调和级数发散分析在数学分析讲义下册中有调和级数发散的证明,但课本中的证明用到了上册课本习题中的个已知结论,即欧拉常数但是如果我们不记得这个结论了,该怎么证明这个结论呢把换成连续变量得函数,显然这是个在,单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件解将原级数换成积分形式,由于,即发散,根据积分判别法可知,调和级数发散两种新方法我们已经讨论了用比较判别法柯西判别法达朗贝尔判别法拉贝判别法判断正项级数的敛散性,如果正项级数是形如的形式,那么用柯西判别法就能判别出来如果形如,的形式,则用达朗贝尔判别法容易解决假如是形如,的形式,或者比这个更复杂,那么用上述两种解法就不定能解出来这就要求我们寻找新的方法,这种形式也暗示着我们能否将两种方法有机结合起来,形成种新的判别方法呢基于这个考虑,经过深入细致的研究并做了大量的实验,利用逻辑推理得出以下结论定理设有正项级数,,有或若若,则级数收敛若,则级数发散证明若,则存在,使得根据假设,存在,使得,,由极限定义知,存在,当时,有,当时,有,所以当,时,有,由于改变级数前面的有限多项不影响其敛散性,故可认为对切自然数都有,所以由于收敛,由正项级数的比较判别法知,级数收敛若,同理可证级数发散那么,人们自然会问形如,的级数,是否也能将柯西判别法和达朗贝尔判别法结合起来呢我们同样可得出下列结论定理设正项级数,,若则当时,级数收敛当时,级数发散证明设,存在,而且还可以判别负项级数的敛散性判断变号级数是否绝对收敛,以及判断函数级数是否致收敛结束语数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。判断正项级数的般顺序是先检验通项的极限是否为，若为则发散，若不为则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法根式判别法或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法柯西判别法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当种判别法无法判断时，就出现种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有定的技巧，根据不同的题目特点分析判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。本文归纳总结正项级数收敛性判断的些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析判断选择适宜的方法进行判断。正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到函数级数的敛散性判别中致谢作为即将从重庆三峡学院数学与计算机科学学院毕业的我,在四年的大学生活里,认真学习各科专业知识,积极参加社会实践活动特别是在大四的师范实习中的两个月,对我的教学方面有了显著的提高,特别是在教态教学方法教学过程与学生的沟通技能方面有了明显的提高回首大学四年的时光,匆匆而过,我要诚挚的感谢教育和培养我的老师们,感谢周兴建老师对我完成论文的选题,撰写方面给予的指导和帮助论文的完成凝聚着恩师的大量的心血和汗水,他在精心指导本文的选题构思和写作过程中,对我的谆谆教导严谨的治学态度和知识水平使我终身受益,对我未来参加工作必将产生深远的影响我真诚感谢重庆三峡学院数学与计算机科学学院的各位领导和老师等给我长期的传道授业解惑，对本论文在撰写过程中给我的知识指导帮助和启迪借此机会向我的同学们在我大学四年里给予我的帮助和关怀,表示感谢论文中还有诸多的问题和不足之处,敬请大家给予批评指证参考文献刘玉琏,傅沛仁等数学分析讲义第四版高等教育出版社,赵树原,胡显佑,陆启良微积分学习与考试指导中国人民大学出版社,华东师范大学数学系数学分析第三版高等教育出版社,,易证对于,由极限定义可知有当即,收敛级数显然根据正项级数的比较判别法可知,级数收敛,所以级数收敛对于第二种情况,可以采取同样的方法证明有了这个判定方法,原来那些不易求的问题就变得迎刃而解例讨论级数,的敛散性分析我们先可以用柯西判别法和达朗贝尔判别法去试试,发现做起来并不容易,将,分解为,解令,则,,因为,由定理可知,级数,收敛对于新方法的推导,我们从中得到的启示是要重视数学中的逻辑推理证明,在数学中运用大量数字观察,通过综合归纳得出的结论,最后必须经过严格的逻辑证明,才能得到最终确认判别正项级数敛散性方法的总结综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法柯西判别法达朗贝尔判别法拉贝判别法积分判别法,以及上面讨论的两种新方法但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决如果原级数容易找到个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法如果原级数含有次幂的形式,则可考虑用柯西判别法如果原级数含有,等形式,则可试用达朗贝尔判别法如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法如果级数是乘积形式,那么可以选用上面介绍的两种新方法在判别级数敛散性中的作用证明负项级数的敛散性级数的每项都为负的级数为负项级数,如其中,如果把负项级数的每项都变成正号,则把负项级数变成了正项级数,即是其中,显然是正项级数从而正项级数与负项级数其中有相同的敛散性,那么完全可以用正项级数敛散性判别法来判断负项级数的敛散性例判别级数的敛散性分析注意该级数的下标不是,而是。当时,有,即该级数是个负项级数我们把该级数前面添个负号变为正项级数,则可用正项级数的敛散性判别法来判断该级数的敛散性解由于,而是个正项级数,又由于,且级数发散,根据比较判别法可知,级数也发散,从而原级数发散例判别级数的敛散性分析当时,,而,即将原级数添上个负号变为正项级数解由于,而是个正项级数又因为,故级数收敛,从而原级数也收敛证明变号级数绝对收敛级数其中既有正也有负,若正项级数收敛,则称级数绝对收敛若级数收敛,而正项级数发散,则称级数条件收敛定理若级数绝对收敛,则级数必收敛显然,可以用正项级数的敛散性判别法来判断个变号级数是否绝对收敛,如果它绝对收敛则可说明它是收敛的例讨论变号级数的敛散性解由于,而正项级数收敛,根据比较判别法,正项级数收敛,即变号级数绝对收敛,从而收敛例讨论变号级数的敛散性