数，即为欧拉方程的特征根的相反数。对积分，即可得出方程的通解推论欧拉方程的个通解为例解方程。解解得，，于是有，解得。例解方程。解解得，于是有，解得，。成立。证明在定理中，我们已经把方程的左端降阶成阶多项式的全微分，下面我们将用类似的方法依次降阶，并证明的存在性。令方程中的，那么我们有，其中是微分方程的个特征值的相反数。假设存在，使得，其中为待定常数。将展开，得数学系信息与计算科学班熊南南从而有解方程组，得将中的表达式代入，并化简整理，得，解方程即得，再将代入，即可得出待定系数，，于是我们得到的具体表达式。现在，我们将变形为将代入，得对，我们用同样方法，可得，存在，使得，由此可知，的根是除去后剩下的另外个根。从而可知就是方程的个特征根的相反数。推论微分方程的个积分因子中的，就是微分方程的特征根的相反数。例求方程的通解。解这里。解得，，从而有，对上式积分，得，即，再对上式积分，得，即得方程通解。例求方程的通解解这里，解得，于是有，得方程通解为高阶线性微分方程的积分因子解法。例求方程解这里，解得，，于是有，得方程的通解为。欧拉方程的积分因子解法形为的方程称为欧拉方程，这里，为常数，为任意可积函数。定理对欧拉方程，存在，，使得成立。证明引入自变量变换，，从而将方程转化为如下形式，其中为常数。现在我们用中的积分因子方法求解。我们知道，为微分方程的特征根的相反数，有，再将自变量代回，即将代回方程，我们得到。我们知道微分方程的特征方程为依此类推，最后我们可得高阶线性微分方程的积分因子解法至此，我们已证明微分方程存在形如，的个积分因子，使得成立。我们分别称为微分方程的第积分因子，第二积分因子，第积分因子。将方程变形，可得，从而有，即，因此，我们可以得到方程的通解为。推论如果方程存在形如的个积分因子，那么它的通解为。现在的问题是如何找到这个积分因子，怎么求我们先来比较两个方程和，，不妨记的左端为，的左端为，即，，在定理的证明中，我们取，即可得关系式数学系信息与计算科学班熊南南将中的换为，并将代入的表达式，化简整理后，得，，，，，，高阶线性微分方程的积分因子解法高阶线性微分方程的积分因子解法我们已知阶线性微分方程有形如的积分因子，使得两边同时乘以后化为，再积分，即得通解。本章主要对二阶线性微分方程三阶线性微分方程阶常系数线性微分方程以及欧拉方程做了积分因子解法的讨论。阶常系数线性微分方程的积分因子解法我们先来看个例子。对于微分方程，将方程左端乘以，我们得到，对式两边积分，并整理，得，将式左端乘以，我们又得到，再将式积分，得，把式代入式，得方程通解为。通过观察，我们可以知道，指数中的就是要求的微分方程的特征值的相反数。这就引出以下定理。定理对于阶线性微分方程，数学系信息与计算科学班熊南南其中是任意可积函数，为任意常数，定存在复数域上的，使得成立，其中，为待定常数。证明若存在，使得成立，其中，为待定常数。则将展开，必得于是，我们有解方程组，得高阶线性微分方程的积分因子解法其中，将中的表达式代入方程组中最后个式子，并化简整理，得。显然，在复数域上，方程定有解即定存在，并且解的个数为，由还可以知道这里的就是的特征值的相反数。解出后，再根据我们即可求出，，这样我们便得到的具体表达式。我们称为微分方程的积分因子。定理对阶常系数线性微分方程，其中是任意可积函数，为常数，定存在使得高阶线性微分方程的积分因子解法高阶线性微分方程的积分因子解摘要本文首先讲述了微分方程的基础知识，介绍了些低阶常微分方程的已知的常用解法，并由此引入了积分因子解法的概念，及在阶线性微分方程求解中的简便性，接着讲述了二阶线性微分方程的几种常用解法，在考虑这几种解法局限性的同时，引入了积分因子解法对二阶变系数线性微分方程进行求解，并取得了很好的效果。在此基础上，我们把积分因子解法扩展高阶线性微分方程中去。我们希望找到合适的，使其满足，则我们便可以得到阶线性微分方程的通解。由此便希望将此种方法也应用到欧拉方程中，找到欧拉方程形如的积分因子，使其满足从而可得通解为。关键词高阶线性微分方程，阶常系数线性微分方程，欧拉方程，积分因子数学系信息与计算科学班熊南南，，，，，其中，中的，分别为中的系数，所以数学系信息与计算科学班熊南南，就是方程的根的相反数。我们有如下结论推论，为方程的根的相反数，即为欧拉方程的特征根的相反数。对积分，即可得出方程的通解推论欧拉方程的个通解为例解方程。解解得，，于是有，解得。例解方程。解解得，于是有，解得，。，由此可知，的根是除去后剩下的另外个根。从而可知就是方程的个特征根的相反数。推论微分方程的个积分因子中的，就是微分方程的特征根的相反数。例求方程的通解。解这里。解得，，从而有，对上式积分，得，即，再对上式积分，得，即得方程通解。例求方程的通解解这里，解得，于是有，得方程通解为高阶线性微分方程的积分因子解法。例求方程解这里，解得，，于是有