群的自同构群是个阶循环群阶循环群的自同构群是个阶的群，其中是欧拉函数即小于且与互素的正整数的个数。

证明由于在同构映射中，循环群的生成元对应生成元，而确定了生成元的对应关系也就能够确定群中其他元素的对应关系。

所以，个循环群有多少个生成元也就具有多少个自同构。

例如，设是个由生成的循环群，那么显然，当是小于且与互素的正整数时，也是的生成元，即。

此时，令，，则有，且时，，，即是的自同构。

由于无限循环群只有个生成元，阶循环群只有个生成元，所以其自同构群分别为阶循环群和阶的群。

例求，，阶循环群的自同构群。

解，两个生成元为从而，，其中是恒等置换，。

求，，阶循环群的自同构群。

，个生成元为从而，，其中，是恒等置换，，，。

参考文献赵春来，徐明曜，抽象代数，北京大学出版社年月第版，高等近世代数，伊利诺伊大学致谢本设计的完成是在我们的导师徐竞老师的细心指导下进行的。

在每次设计遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。

从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了徐老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢，导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生，还要感谢和我同学习的几位同学，是你们在我平时论文的编写中和我起探讨问题，并指出我论文中的误区，使我能及时的发现问题把论文顺利的进行下去，没有你们的帮助我也不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意。

，记作个正规子群的左陪集和右陪集统称为的陪集。

商群设是群，是的正规子群，则的陪集，在乘法运算下构成群，称为关于的商群，记作证明首先，，故非空其次，由于对于乘法封闭，即陪集乘法确实是上的二元运算确切的说，有次乘法显然满足结合律又，所以是的幺元最后易见是的逆元这就证明了在陪集乘法下构成群作为特殊情形，所有群的子群都是正规子群，所以对于群的任子群都可以构造相应的商群例如，整数加法群是群，对于任意正整数，是的正规子群，此时相应的商群为，其中这个群是阶循环群，生成元是二循环群定义设是群，是的子集，则称的所有包含的子群的交为由生成的子群，记作如果，我们称是的个生成系仅由个元素生成的群叫做循环群循环群的子群结构循环群的子群仍是循环群无限循环群的子群除以外都是无限循环群，且的子群与非负整数对应，确切的说，每个对应子群有限阶循环群的子群与的正因子对应，确切的说，的每个正因子对应于的唯的阶子群证明首先，我们应证明循环群的子群仍是循环群设如果，则为生成的循环群若，令是的元素作为的方幂出现的最小的正整数，即，易见，事实上，对于任意，设，则由的最小性知，即故反之显然有这就证明了是循环群现设是无限循环群，设，则所以由于的任子群意的两个自同构，那么对于，，就有，也就是说也是的个自同构。

这就说明，所有自同构关于变换的乘法是封闭的。

又因为对于有，故即也是的个自同构，所以群的定义的第条成立。

另外，变换的乘法满足结合律是显然的，且单位元就是恒等变换，群的定义的第条也成立。

所以，的全体自同构关于变换的乘法作成个群。

例求解四元群的自同构群。

解。

因为是自同构，则必有幺元变成幺元。

又因为是双射，所以，其中是的全排列。

而其中每个全排列不定全都是自同构，但根据的运算特点，可以得出这些全排列都是的自同构。

例如，设，，则可以验证它是的自同构，，由于的全排列共有个，与同构，因此的全体自同构也有个，。

五结论定理无限循环群必同构于整数加法群有限循环群必同构于整数加法群的个商群证明设是循环群，定义映射，显然就是群的满同态，如果∞，设，则此时必有否则对于任意的∈，设就有于是，，矛盾于∞所以由同态基本定理即知形如，所以定理中所述的对应应该是满射易见故如果，则这说明上述对应是单射，从而对应再设设，，为的阶子群我们来证明，是的唯的阶子群事实上，设也是的阶子群，则，故，所以，和意味着，于是但，所以这就证明了阶子群的唯性，亦即定理中所述的对应是单射由于的子群的阶是的因子定理，所以该对应应是满射，故为对应三同构定义，是两个群，ƒ称为由到的个群同态，如果ƒ保持群运算，即对于所有的，∈，都有ƒƒƒ如果ƒ又是单满射，则称ƒ为单满同态既单又满的同态成为同构如果存在由到的个同构，则称同构于，记为≌群到自身的同态和同构成为群的自同态和自同构同态基本定理设ƒ是群同态，则ƒ≌ƒ其中ƒ是群的核，即任取∈ƒ，ƒ，而ƒ为在ƒ作用下的像的集合证明为简单起见，记ƒ定义映射ƒ我们来验证是良定义的，即与陪集代表的选取无关事实上，如果，即∈，则存在∈使得故，所以是群同态又设有ˊˊ的幺元，即ƒˊ，故∈，即的幺元，所以ƒ，即是单射最后，设∈ƒ，则存在∈使得ƒ这说明是满射这就证明了是同构四，自同构定义设是个集合，并在上面定义了代数运算，那么的全体自同构关于变换的乘法称为个群，叫做的自同构群，记作。

如果，则证明设，是中任，目录群定义二群的基本性质二循环群定义二循环群的基本性质三同构定义二同态基本定理四自同构五结论参考文献群定义如果个非空集合上定义个二元运算，满足结合律有单位元存在使得有逆元对于任意，存在，使得则称关于运算构成个群，记为，群中若还成立以下交换律对于任意，，则称为交换群或群群所含的元素个数称为群的阶群的阶记为如果∞，则称为有限群，反之称为无限群例整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合关于加法都构成群非零有理数集合，非零实数集合，非零复数集合，正实数集合关于乘法都构成群例设是个正整数整数集合模的剩余类关于加法构成群，它包含个元素与互素的剩余类关于乘法构成群它包含个元素，为函数群的基本性质群的单位元惟群中任意元素的逆元惟群中有消去律，即蕴含左消去律，蕴含右消去律证明设和都是群的单位元，则有设，都是群中的逆元，则有设两端左乘的逆元，得，而，故有同样可证右消去律群的阶数设是个群，如果，都有，则称为无限阶元，记作如果存在为有限阶元则称使得，使得的最小正整数叫作元素的阶，记作子群群的个子集叫做的个子群，如果它对于群的运算也构成个群。

群至少有两个子群，本身以及由的单位元构成的子集，称为的凡子群，而其他的子群叫做真子群。

正规子群陪集设是的个子群，称集合为群关于子群的个左陪集，叫做的个代表元。

设是的个子群，称集合为群关于子群的个右陪集，叫做的个代表元。

指数群关于子群的的左陪集或右陪集的个数叫做子群在中的指数。

记作当个数是无限时，记作特别地，有限群的阶，其中是群的单位元。

正规子群群的子群叫做个正规子群，如果任取，都有论文编码。

大学本科生毕业论文设计循环群的研究院系专业年级学号指导教师论文作者完成日期大学本科生毕业论文设计原创性承诺书论文设计题目学生姓名专业学号完成时间年月日年月日指导教师姓名职称承诺内容本毕业论文设计是学生在导师的指导下独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，如出现抄袭及侵犯他人知识产权的情况，愿按学校有关规定接受处理，并承担相应责任。

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中文提要本文研究的内容是有关循环群的自同构问题，研究的内容作为本人的毕业论文内容及答辩内容。

同构是代数中重要的大概念，而自同构又是同构中极为具有代表性的类，很多情况下相互同构的两个群有着很多相同的性质，所以找出群的同构类可以解决很多看似复杂的问题。

在本文中，我将从群同态基本定理入手，探索群中颇具代表的循环群的自同构问题，并举出例子来解释其中相似的性质