求极限换元法第页利用夹逼准则求极限第也洛必达法则求极限第页利用单调有界准则求极限第页利用无穷小量的性质求极限第页利用迈克劳林展开式或泰勒展开式求极限第页利用定积分求定义及性质的极限第页利用级数收敛的必要条件求极限第页利用中值定理求极限第页利用单侧极限求极限第页利用些结论求极限第页多种方法的综合运用第页参考文献致谢极限计算的方法与技巧摘要求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，本文总结了几种常用的求极限方法辅以例题，并对其适用范围及使用时的注意事项等进行了定说明关键词极限，夹逼准则，洛必达法则，泰勒公式，定积分，无穷级数引言极限的由来可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的种原始的极限思想的应用古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人对无限的恐惧，他们避免明显地取极限，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明极限思想揭示了变量与常量无限与有限的对立统关系，是唯物辩证法的对立统规律在数学领域中的应用借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确极限的思想方法贯穿数学分析的始终可以说数学分析中几乎所有概念离不开极限几乎所有数学分析著作都是先介绍极限，然后利用极限的方法给出连续函数，导数，定积分，级数的敛散性，多元函数的偏导性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念因此握求极限的技巧和方法是学好高等数学的前提条件但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，本文总结了几种常用的求极限方法辅以例题并对其适用范围使用时的注意事项等进行了定说明极限计算的技巧与方法利用定义求极限例证明由于，故对，取，则当时，就有由函数极限的定义有适用范围用定义求极限适用于能预先猜测极限结果，并且表达式相对比较简单的问题，常和单调有界原理等方法结合适用，如例设，证明存在，且为方程第届全国大学生数学竞赛预赛试题证明设，，则，，，于是在上有且仅有个根，记为从而对，由于，故有因此只要取，当时，就有由极限定义知，存在且为利用极限的则运算性质求极限对和差积商形式的函数求极限，自然会想到极限则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做些恒等变形或化简采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分分式的分解分子或分母的有理化角函数的恒等变形些求和或求积公式以及适当的变量替换极限的则运算性质，若≠则为常数上述性质对于，时也同样成立例例已知求解，所以适用范围必须各项极限都存在对分母部分还要分母极限不为零才可使用，并且只对有限项的适用常见错解剖析所在将只适用于有限个数列加减乘除的数列极限的则运算法则照搬到无限个数列的加减乘除，超出了法则的适用范围数学中的公式法则定理等，大都有定的适用范围，不注意这点，思维就是不严密的，就有导致的可能，这点我们必须引起足够的重视正解利用两个重要极限公式求极限第个重要极限的标准形式第个重要极限的标准形式在中，是无穷小量，即此极限的特征是无穷小量的正弦与其自身之比的极限时，设为的函数，在的个变化过程中，若则第个重要极限的般形式为在中，时是无穷小量，因此该极限的特征为例，均为常数解因，于是可以把以上极限化为两个函数的极限求解又当时，，于是有适用范围用该方法求极限时，常需对函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化利用变量替换求极限换元法当个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求例解令，则，因此适用范围换元法求极限适用范围很广，通常是作为恒等变形的种技巧，需结合求极限的其他方法起使用利用夹逼准则求极限定理数列极限的迫敛性夹逼准则设收敛数列，都以为极限，数列满足存在正数，当时，有，则有例解，即，而，利用两边夹定理知适用范围利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得关键在于选用合适的不等式利用洛必达法则求极限洛必达法则对求未定式的极限而言是种简便而又有效的方法使用时，注意适当地化简换元定理，若与在的空心邻域内可导，且可为实数，也可为或，则此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则例求解由所以上述极限是待定型适用范围洛必达法则适用于，等未定式极限，但不能直接用于数列极限，且对未定式的函数极限也不是万能，有失效的时候因此为了更准确快捷的运用洛必达法则求极限应注意以下几点，也就是说，在没有化为，时不可求导，要分别的求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法如解易见该极限是型，但用洛比达法则后得到，此极限不存在而原来极限却是存在的正确做法如下原式分子分母同时除以解尝试洛必达法则得原式„„，但利用则运算的方法易得原式使用时要及时化简，结合使用等价无穷小替换换元等方法和技巧利用单调有界准则求极限单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯例证明下列数列的极限存在，并求极限，证明从这个数列构造来看显然是单调增加的用归纳法可证又因为，，所以得因为前面证明是单调增加的两端除以得因为则，从而即是有界的根据定理有极限，而且极限唯令则则因为解方程得所以适用范围此方法主要用于数列极限利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质主要指有限个无穷小的和是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小等价无穷小在求极限时可以相互替换这些性质常用来求相关的极限，特别是等价无穷小的替换常见的等价无穷小关系有当时，有例解时，原式适用范围等价无穷小替换只适用于乘除运算，在加减运算中使用常会造成，且常作为种化简技巧与其他求极限方法结合适用常见错解这里解题者在分子分母中分别用了时，其中分母部分是适当的，但分子部分就是用在了加减运算中是的，因而造成了结果的正确解法展式求极限应用泰勒展式求极限需要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式实际上，泰勒公式在证明及计算极限等方面有着广泛而独到的应用定理泰勒展开式若在点有直到阶连续导数，那么这里，其中在与之间例解泰勒展开式，于是所以适用范围利用泰勒公式求极限的适用范围较为广泛，只要知道表达式中各个部分的泰勒展式带佩亚型余项，不过使用时要注意展开到足够的阶数，否则无法得到结果利用定积分定义及性质求极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数把所求极限的和式表示成在区间，上的待定分法般是等分的积分和式的极限例求解由于可取函数区间为，上述和式恰好是在，上等分的积分和所以适用范围定积分定义求极限适用于和式或连乘积的数列极限，有时要结合夹逼准则同适用如例首届全国大学生数学竞赛决赛试题解利用，得，左边，积分得左边右边，积分得右边