浅谈变量代换法在微积分学中的应用(1) ㊣精品文档值得下载

必须找个新的变量将幂次降低，于是可以令解令，则，之前所做的都是元函数求极限问题，对于多元函数问题则思考能否作变量代换转化为元函数求极限问题。

例解令，则利用变量代换法求导数和微分变量代换法在求导中的应用主要在于利用复合函数求导法则进行求导。

要求能看出复合函数的内外函数及其复合关系，再以链式法则结合基本求导公式进行的计算。

如果中间变量不止个的复合函数，可简单由外而内层层进行。

例利用变量代换法求复合函数的导数设，且具有阶连续偏导，求解令，，则有例利用变量代换法求隐函数的导数设由方程确定了个，函数，求解将看作，的函数，方程两边同时对求导得，整理得学习了利用变量代换法求函数的导数，又知微分，即求微分可以通过求导数来得到。

利用变量代换法求微分，也是在复合函数中进行，先利用变量代换法求得复合函数的导数，再写成，两步得解。

即通过求导来解决，这里不做累述。

利用变量代换法求不定积分利用变量代换法求不定积分又叫做换元积分法。

换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的形式。

包括第类换元法凑微分法和第类换元法。

因此我们可以从基本的积分公式出发获得灵感，并结合平时的练习，来掌握这类积分方法。

第换元积分法凑微分法第积分换元法设在，上有定义，在，上可导，且，并记，，。

若在，上存在原函数，则在，上也存在原函数，且，即微分形式的不变性是此式成立的理论依据。

常用的凑微分公式主要有。

形如，令，，，则有例解令，则，得形如，令，，，则有例解令，则，有如果能写成的形式，那么可作代换。

例如等。

浅谈变量代换法在微积分学中的应用。

命题设在，上连续，则证明令，则最后个等号用到定积分与积分变量选取无关性。

结论左右两边的积分具有相同的上下限，这里姑且称为不变限代换。

为便于记忆，将不变限代换写成。

它为计算定积分提供了种思路若想将原积分化为相同积分区间的积分，那么使用不变限代换。

例≠，解用不变限代换，则例解用不变限代换，则上面几个实例有个共同点，使用不变限代换，转换得到的新积分比较容易计算。

事实上，不变限代换的作用不仅仅在此。

命题若满足为常数，则证明记，由，得到，结论得证例解由于，因此，例解由于，因此，命题显示可以用不变限代换将原积分转化成相同积分区间的积分，当为常数时，命题提供了种简便的定积分计算方法。

事实上，如果，而且又容易计算，则仍可以使用不变限代换方法计算。

推论若满足，则例解由于，因此例解由于，因此利用变量代换法求重积分重积分设，在有界区域上可积，变换，将平面由按段光滑封闭曲线围成的闭区域对地映射成平面上的闭区域，函数，在内分别具有阶连续导数且它们的函数行列式，则，例，其中积分域由抛物线和直线，所围成解作变量代换把，平面上区域变为，平面上的矩形域，，其雅可比行列式为当积分区域是圆域或环域的部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换，往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。

设此时，满足条件，极坐标变换，平面上有界闭区域与平面上区域对应，得则例，其中是以圆及圆为边界的环形区域解选用极坐标代换，则区域对应得到形域，，则总结当积分区域是圆域或环域的部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换，往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。

重积分和重积分样，些类型的重积分做适当的变换后能使计算方便，设变换，，把空间中的区域对地映成空间中的区域，并设函数，及其阶偏导数在内连续，且行列式，，则有介绍常见变换公式柱面坐标变换，则，，有，例，其中是曲面和为界面的区域解在平面上的投影区域为按柱面坐标变换，区域可表为，可得总结首先，看被积函数，如果，或，应选择柱面坐标法其次，积分区域是圆柱体，或在平面的投影区域是圆形扇形环形，应选择柱面坐标法。

球面坐标变换，，则，，有，例，其中，解利用球面坐标法，得总结首先，被积函数为，或应选择球面坐标法其次，积分区域是球体或球体的部分，应选择球面坐标法比较简便。

变量代换法在解题中的应用告诉我们，解决问题时我们应透过其外在来抓其内在的本质，这就是变量代换法的关键。

它使不可直接求解的复杂形式通过变量代换变得简洁而易于求解，它是转化思想在数学中的深刻的体现。

在运用时，我们首先还是从问题的本身出发，再结合已学会的基本方法，尝试发现两者之间种联系，设法建立联系来实现这种转化。

这不仅需要从前人的经验中吸取精华，更需要实战和经验总结来做指导，致谢词由衷感谢李春娟老师的细心指导，感谢她在我的论文写作中给予的耐心指导和宝贵意见，参考文献陈克东微积分学中的化归方法高教论坛，陈国干变量代换是实现命题转换的种重要途径唐山学院学报，华东师范大学数学系数学分析第版上册北京高等教育出版社，华东师范大学数学系数学分析第版下册北京高等教育出版社，何挺不定积分种基本解题方法的归类安顺师范高等专科学校学报，王锡华换元积分法常用技巧益阳师专学报，李春娟变量代换法在高等数学中的应用丽水师范专科学校学报，相秀芬几个不定积分计算问题的教学体会承德石油高等专科学校学报，刘立新对不定积分定积分学习之己见吉林商业高专学报，周彩莲定积分计算中的不变限代换高等数学研究，尹水坊微积分学习指导北京科学出版社，刘里鹏从割圆术走向无穷小揭秘微积分湖南科学技术出版社，路建民实用微积分学习指导北京中国水利水电出版社，李公国微积分及其应用北京徐氏基金会出版，许莼舫微积分学习指导北京中国青年出版社，陈建华微积分名师导学北京中国水利水电出版社，。

变量代换法结合洛必达法则，主要用于将其他的不定式极限，，，等类型转化成型与型，再运用洛必达法则求解。

例分析本题是型不定式极限，但直接运用洛必达法则求解后幂函数次数越来越高，所以必须找个新的变量将幂次降低，于是可以令解令，则，之前所做的都是元函数求极限问题，对于多元函数问题则思考能否作变量代换转化为元函数求极限问题。