时,,且证明因为,所以定理幂级数,与幂级数其中有相同的收敛半径和收敛区间推论设有幂级数,,令,则它的收敛半径可用如下公式求得,例求幂级数的收敛半径与收敛区间解法用变量代换法,令,则,考虑幂级数的收敛半径,因为,所以的收敛半径由定理可知,的收敛半径,收敛区间为,解法用推论中的公式因为,所以的收敛半径,收敛区间为,下面考虑形如,为最简分式级数的收敛区间问题设有级数,令,将代入系数得以为系数作幂级数若,都存在含极限为的情形,并设,,则有下述结论引理当时,或,且定理设有级数,为最简分式与幂级数其中,为时时,的收敛半径,则当为奇数时,两级数有相同的收敛区间当为偶数时,的收敛区间,例求函数项级数的收敛区间解因为,为偶数令,可得,则所以的收敛半径因为偶数,的收敛区间为,及其推广和应用函数项级数致收敛的定义和充要条件致收敛的定义设是函数项级数的部分和函数列若在数集上致收敛于函数,则称函数项级数在上致收敛于函数,或称在上致收敛函数项级数致收敛的等价定义设是函数项级数的部分和函数列,函数列和函数都是定义在同数集上,若对于任给的正数,总存在正整数,使得当时,对切都有,则称函数项级数在上致收敛于函数,或称在上致收敛致收敛的充要条件充要条件函数项级数在数集上致收敛于的充要条件是充要条件若在区间上收敛,则在上致收敛的充要条件是,有其中为级数余和证明必要性因已知在区间上致收敛,所以,使得当时,对切都有,对于则有,即,得充分性假设在上不致收敛,则,使得如此得到,但这与已知条件矛盾除了上述定义和定理,有些级数还可以根据级数各项的特性来判别些常见的判别法阿贝尔判别法设在区间上致收敛对于每个,是单调的在上致有界,即对切和正整数,存在正数,使得,则级数在上致收敛狄利克雷判别法设的部分和函数列,„在上致有界对于每个,是单调的在上,则级数在上致收敛魏尔斯特拉斯判别法判别法或者优级数判别法设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对于切,有则函数项级数在上致收敛判别法的个推论定理设有函数级数,存在收敛的正项级数使得对于,有,则函数项级数在区间致收敛推论设有函数级数,若存在极限,且,则函数项级数在区间致收敛定理函数列定义于区间上,且在有界,若有则函数项级数在区间致收敛推论函数列定义于区间上,且在有界,若,有则函数项级数在区间致收敛定理有函数项级数,若对有,则函数项级数在致收敛推论有函数项级数,若对,有,且,则函数项级数在致收敛定理若每个均在,上连续且非负在,上收敛于连续函数则在,上致收敛于例试证在,内内闭致收敛证明用定理和狄利克雷判别法显然在,上致有界任取,,对,,易证当充分大时单调减且,每个及均在,上连续故有定理„„„„„„„„„函数项级数收敛定义以及收敛域问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数收敛的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„求函数项级数收敛区间的种新方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„判断函数项级数致收敛的方法及其推广和应用„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数致收敛的定义和充要条件„„„„„„„„„„„„„„„„„„致收敛的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数致收敛的等价定义„„„„„„„„„„„„„„„„„致收敛的充要条件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„些常见的判别法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数致收敛的准则及推论„„„„„„„„„„„„„„„„致收敛的准则„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„收敛准则的推广„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致收敛的积分判别法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„逼敛性定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数致收敛的几个新的判别法„„„„„„„„„„„„„„„„„些特殊的方法在判断函数项级数致收敛时的应用„„„„„„„„„„„交错函数项级数及其致收敛判别法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„主要参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数项级数的收敛判别法的推广和应用摘要级数问题可以说是经典微积分学基本问题之,是数学分析课程中基本内容之,无论是在科学研究,还是在实际工程运筹规划中,将问题转化为级数问题是常见的而函数项级数是级数问题的个重点,本文将研究函数项级数收敛判别法及致收敛判别法,并将其推广和应用到实际问题中关键词函数项级数收敛致收敛判别法推广和应用引言本文主要论证了函数项级数的定义收敛区间,函数项级数收敛级数收敛性的定,和致收敛的多种判别法,并且将它们推广和应用,对于函数项级数,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质,比如能否由函数项级数的每项连续可积可微,判断出和函数的连续性可积性和可微性,这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的个特例致收敛是函数项级数的个重要性质,判别函数项级数致收敛既是数学分析中的个重点,又是个难点有效地判别函数项级数的致收敛对进步研究函数项级数的性质起着重要的作用为了开阔思路,更好的理解和掌握函数项级数致收敛的方法,本文除了课本提出的几个函数项级数致收敛性的判断法,在这里,我们提出几个新的函数项级数致收敛的判别对函数项级数致收敛的几种判别法,分析归纳和总结如型函数项级数,并研究了其致收敛判别法,函数项级数收敛的定义以及收敛域问题函数项级数定义设是定义在数集上的个函数列,表达式,,称为定义在上的函数项级数,简记为或者称为函数项级数的部分和函数列函数项级数收敛的定义若,数项级数收敛,即部分和当时极限存在,则称级数在点收敛,称为级数的收敛点若级数发散,则称级数在点发散若级数在的个子集上每点都收敛,则称级数在上收敛若为级数全体收敛点的集合,这时则称为级数的收敛域级数在上每点与其所对应的数项级数的和构成个定义在上的函数,称为级数的和函数,并写作,即,也就是说,函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性求函数项级数收敛区间的种新方法对形如,的幂级数,当其缺项的时候,不能直接用公式求其收敛半径与收敛区间本处约定收敛区间不含端点,般都是直接采用达朗贝尔比值判别法求其收敛半径与收敛区间事实上,对这种幂级数只需先作个变量代换,就可以采用公式法求解以下给出了这种方法的理论证明,并将结论进行了推广,即利用变量代换与公式法同样可求形如形式,的函数项级数的收敛区间设有幂级数,,令,将代入系数,得并记,以为系数作新幂级数,若,都存在含极限为情形,设,,则有下述结论引理,方案划线标出锚筋位置,并用电钻钻孔。穿墙孔直径比锚筋大,锚筋孔直径宜为锚筋直径的倍,孔深宜为,锚筋插入孔洞后,应用水泥砂浆填实。铺设钢筋网时竖向钢筋应靠墙面。抹水泥砂浆前,先在墙面耍水泥浆