第章元函数微分学导数与微分及其计算方法微分中值定理元函数微分学的应用定义设函数在点的邻域内有定义,导数的定义与几何意义若极限故时此时在都存在,显然该函数在连续解因为设存在,且求所以设函数在处连续,且存在,证明在处可导证因为存在,则有又在应选证明所以,对于任意的正数,存在正数,当时,由微分中值定理,,设存在,则例设处处可导,则当时,必有当时,必有第二章元函数微分数教学课件.微分法则隐函数求导法则基本初等函数的求导公式导数与微分的则运算法则导数的基本公式与运算法则高阶导数基本初等函数的求导公式可导若函数在开区间内可导,且在闭区间,上连续注意若设函数在点可导,则当时,,例证明复合函数即定义设函数有定义,存在,单侧导数左右导数同理可定义左导数且定理函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右导数存在定理函数在点必右连续左左意义若上述极限不存在,在点不可导若函数在开区间内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数记作就说函数就称函数在内可导定理证设在点处可导,存在在处有例如,且定理函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右导数存在定理函数在点必右连续左左与都存在,显然在闭区间,上可导则称在闭区间上第章元函数微分学导数与微分及其计算方法微分中值定理元函数微分学的应用定义设函数在点的邻域内有定义,导数的定义与几何意义若极限知在点可微,则故在点的可导,且定理函数在点可微的充要条件是即充分性已知导数与微分的则运算法则定理的和差积商除分母为的点外都在点可导,且在点可导,定理在点可导,则复合函数设存在,求极限其中,为非零常数解,因为存在,所以在处有例如,且定理函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右导数存在定理函数在点必右连续左左与都存在,显然在闭区间,上可导则称在闭区间上微分法则隐函数求导法则基本初等函数的求导公式导数与微分的则运算法则导数的基本公式与运算法则高阶导数基本初等函数的求导公式设函数在点处可导,证明第二章元函数微分数教学课件.故线性主部即在点的可导,则第二章元函数微分数教学课微分法则隐函数求导法则基本初等函数的求导公式导数与微分的则运算法则导数的基本公式与运算法则高阶导数基本初等函数的求导公式点的增量可表示为为不依赖于的常数则称函数而称为记作即定理函数在点可微的充要条件是即在点可微,元函数微分的定义证必要性已,当时,所以函数在点不可导设而且在点可导,复合函数求导法则例如,推广此法则可推广到多个中间变量的情形的微分,定义若函数在在处有例如,且定理函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右导数存在定理函数在点必右连续左左与都存在,显然在闭区间,上可导则称在闭区间上证明复合函数存在,并称此极限为记作则称函数在点处可导,在点的导数或微商曲线在点处的切线斜率导数的几何,在点处可导,求,的值解由于函数在连续,所以又由于函数在点处可导,所以第二章元函数微分数教学课件.微分法则隐函数求导法则基本初等函数的求导公式导数与微分的则运算法则导数的基本公式与运算法则高阶导数基本初等函数的求导公式处连续,所以即在处可导故设,其中为常数,求解,,证明复合函数已知则若时,恒有问是否在可导解由题设由夹逼准则故在可导,且设,问取何值时,在都存在,并求出解当时,必有当时,必有分析举反例,令,排除再令则排除,设存在,求极限其中,为非零常数解,因为存在,所以在处有例如,且定理函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右导数存在定理函数在点必右连续左左与都存在,显然在闭区间,上可导则称在闭区间上,因此必有其中故所以函数在点连续注意函数在点连续未必可导反例在处连续,但不可导即函数的可导性与连续性的关系在点的个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作应选证明所以,对于任意的正数,存在正数,当时,由微分中值定理,,设存在,则存在,并称此极限为记作则称函数在点处可导,在点的导数或微商曲线在点处的切线斜率导数的几何