学报较之用函数致连续的定义来证明简单。元函数在任意区间上的致连续性对于元函数在任意区间上致连续与非致连续，有以下结论定理函数在区间上致连续,，只要，就有。证明由在上致连续知，，，使得,，只要，就有。又,，知，对上述存在有，从而对有，即。若不然，则必存在，虽然，但是。显然，但是。推出矛盾，故在致连续。注此定理主要用来判定函数非致连续。注利用定义证明函数在上非致连续的关键是确定，找出,使得，而要做到这点，对于些函数而言通常是比较困难的。但是，根据前面判定函数致连续的充要条件，易得函数在区间上非致连续的两个比较简单的充分条件。连续函数在区间,内非致连续的充分条件是和至少有个不存在。连续函数在区间非致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，，使得，但。例证明函数在上非致连续。证明法，对,，取，虽然有，但是。所以在上非致连续。现在利用判别法证明例。法二取,，则，但是。所以由判别法知在上非致连续。注利用这两个判别法证明函数在区间上非致连续的优点是易见的它不用直接确定找,满足，而只须观察和的存在性或找出两个数列和满足判别条件即可。利用上述两个判别法还可以证明以下题目函数在,上非致连续。函数在,上非致连续。函数在非致连续。函数在，上非致连续。提示取，定理若函数在区间上满足利普希茨条件，即存在常数，使得对,都有成立，则在区间上致连续。证明因为函数在区间上满足条件，即,，有，于是对，取，只要，就有。故函数在区间上致连续。例证明函数在,上致连续。证明由于对,，使得，都有，即在,上满足条件。所以函数在,上致连续。注例若用函数致连续的定义证明，则较用定理证明繁琐。定理仅仅是函数在区间上致连续的充分非必要条件，如下例例证明在,上致连续但不满足条件。证明在,上连续，由定理在,上致连续。取显然，且有，，，。从而，对任意充分大的正整数，总存在使得，即。故在,上致连续，但在,上不满足条件。由著名的利普希茨条件得到启发，还可得推论设存在，使对任意,，都有成立，且在区间上致连续，则在区间上有界闭区域上连续，则在上致连续。证明致密性定理假设在上不致连续，则,，使得,，但。令，在中总能找到相应的与，使得,，但。在有界闭区域中由致密性定理有，平面点列必有收敛子列，且。同时由,，得。最后，由，有。令，由二元函数在的连续性及数列极限的保不等式性，得，从而推出矛盾。故在上致连续。证明二有限覆盖定理由在上连续，则，使得，有。考察开区域，显然是的个开覆盖。由有限覆盖定理，存在的个有限开区域覆盖了。记，对,，则,必属于中开区域。设,，即,，此时有,。故由式，同时有，成立，从而。所以在上致连续。注定理中的有界闭区域可改为有界闭集，证明过程无原则性变化。二元函数在有界开区域上致连续的致连续性定理二元函数在有界开区域上在上连续且,存在其中表的边界。证明二元函数在有界开区域上致连续，则必然在上连续，下面证明，存在。由二元函数在有界开区域上致连续，则,，当,时，就有。对则。任取，则，且。于是对上述当,时，有,，从而。由柯西收敛准则知存在。若,且，则由有与都存在。于是，对上述使得当时，有,且,，从而当时，有,。所以，即。结合，由归结原则得,存在。令其中且则对表示的闭包，有或。当时，由为开区域知，当时。因为在连续，所以，故在连续。当时，有，其中为中趋于的点列。对中任趋于的点列，由存在，有。由归结原则知，所以在连续。综上所述，在上连续，从而致连续。二元函数在区域上的致连续性定理二元函数在区域上致连续对当,时，就有。证明由函数在区域上致连续，则就有。任取,，使，则对上述当时，有,，从而有，即是。假设函数在区域上不致连续，则总,，使得，从而有。致连续。证明由在区间上致连续，则只要，就有，于是，对上述，，只要，就有。故在区间上致连续。定理函数在区间上致连续当时有。证明由函数在上致连续，则,，使得当,，且时，有，于是，当时，令，只要，就有，从而。所以。由,，当时，有，则,，使得当时，有，从而有。所以函数在上致连续。例讨论在,上致连续性。解在,上连续，设当时，设，则，，且。所以在,上致连续。当时，，且。所以在,上致连续。由可得，在,上致连续。注定理提供了个直接观察致连续的方法，即在图象上最陡的地方，若，有，则致连续若在处无限变陡，则非致连续。综上所述，元函数致连续的判定，是由函数所满足的条件或所定义的范围所决定的，上述定理给出几种情况下函数致连续的判定但不全面，我们还可以进行更加深入的讨论和研究。二元函数致连续性的判定及应用二元函数致连续的概念及两个重要定理定义设为定义在区域上的二元函数，它或者是的聚点，或者是的孤立点。若即对,，使得当,时，有，则称函数关于区域在点连续。若二元函数在区域上任意点都连续，则称在区域上连续。定义函数在区域上，如果对，仅与有关，当,且,时，有，则称函数在上致连续。若，对使得,，而，则称函数在上不致连续。定理柯西收敛准则平面点列收敛使得当时，对，都有,。证明设，则由三角不等式,及点列收敛的定义，对，使得当时，恒有,，,，从而易得,。由,，则有,，,，从而数列，满足柯西收敛准则，所以它们都收敛。设由点列收敛概念得收敛于点,。定理归结原则设二元函数在有定义。存在对任何含于且以为极限的点列，极限都存在且相等。证明设，则对使得当,时，有。又点列且，则对上述使得当时，有,，从而有，即。设，下面用反证法证明。事实上，若时，，则,不论多么小，总，虽然,，但是。现依次取,，则存在相应的点使得,，而,，与假设矛盾。所以。二元函数在有界闭区域上的致连续性定理致连续性定理若函数在观地说，在上致连续意味着不论两点与在中处于什么位置，只要它们的距离小于，就可以使。这里可能会产生这样的疑问既然对中每个点都能找出相应的，那么取这些的最小者或者是下确界作为正数，不就能使其与点无关了吗事实上，这不定能办得到。因为区间中有无穷多个点，从而般地也对应着无穷多个正数，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。所以，在区间上致连续，反映出在上各点连续程度是否步调致这样个整体性质。函数连续性与致连续性的联系函数在区间上连续与致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。有如下结论函数在区间上致连续，则在上连续。这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的个点或固定即可，但这个命题的逆命题却不定成立。例证明函数在,内不致连续尽管它在,内每点都连续。证明取，对充分小且不妨设，取,，则虽然有，但。所以函数在,内不致连续。那么应具备什么条件，在上连续的函数才在上才致连续呢在闭区间,上连续的函数在,上致连续。这是著名的康托定理。闭区间上连续函数的这性质对研究函数的致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。注对函数的致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面函数在区间的连续性与致连续性的区别和联系。函数致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对,，当时，就有。函数致连续的否定叙述设函数在区间上有定义，若，使，总,，虽然有，但是，则