混沌理论初步及其数值求解 ㊣ 精品文档 值得下载

，即进入了混沌状态虫口模型混沌现象的计算机模拟这里，我采用对这个模型进行简单的数值模拟程序流程图如图所示图程序流程图程序运行结果以及分析由程序的运行结果可以看到虫口模型在由倍周期分岔进入混沌运动的过程如果取，，迭代的轨道如图所示开始模型对初始值敏感性模拟同初值对应不同参数同参数对应不同初值任意参数和数值输入参数和确认开始迭代绘图输出结束图周期轨道对应于周期轨道，此时，即种群趋于消灭如果取，，迭代后的轨道如图所示图虫口数趋于个稳定值此时趋于个稳定的值，即虫口数最终会稳定在个确定的数量如果取三个不同的初始值，，对应于同个参数其结果也趋于同个稳定的值如图所示，即虫口数最终趋于同个状态图虫口数趋于同个稳定值随着参数的继续增大，例如时系统状态就会进入周期轨道，系统出现两个值和的交替状态，如图所示，即虫口数在两种状态之间交替变化图周期轨道如果进步继续增加值，当，此时在四个值上依次跳动例如时，依次趋向于进入周期轨道，如图所示，虫口数在上面的四个值间周期变动图周期轨道继续增大参数的值，系统状态倍周期演化最终进入混沌轨道，如图所示图混沌轨道例如取，初值分别为和与只有很小的差别，但我们可以明显的看到，迭代后的两条轨道最终表现出显著的差异，如图所示图两条混沌轨道比较在牛顿力学中，只要初始条件和受力状态确定，以后的运动就确定了，如果初始条件的变化很小，那么随着系统的演化，轨道的改变也不会很大上面图中两条轨道显著的差异在牛顿力学中显得有点不可思议，但这也正是混沌现象的神奇之处造成这种初值敏感性的主要机制在于伸长和折叠伸长的特性就是把相邻点的距离拉开，最终导致相邻点指数分离折叠的特性就是把很远的点凑到起，使得序列最终保持有界，而且还会引起映射的不可逆这种伸长折叠过程不断地进行，从而导致了混沌计算机的发展实现了大量快速的数值计算，为非线性系统的研究提供了有力武器本文通过对虫口模型的计算机模拟，展现了其中的奇异规律，在教学中取得了良好的效果，可以为同行提供有益的参考和教学补充也会引起更多人的兴趣和研究，促进非线性科学的发展第五章总结本文主要要介绍了混沌理论的基本概念，并且通过计算机软件模拟了混沌理论中的洛伦兹模型和虫口模型混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在线性系统中在虫口方程中没有外加随机变量，即不存在产生随机性的外部原因这种随机性又是本身固有的，是内在随机性而牛顿力学等的内在随机性的根源就在于其动力学方程中有非线性项存在，这与分子无规运动的随机性不同混沌是过程的科学演化的科学，而不是状态的科学，变是混沌的本性随着时间的推移，系统运动状态在不断变化当控制参量由小到大变化时，系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，随着分岔按几何级数的不断增长，系统由有序到无序当控制参量达到个临界值时系统进入混沌区当再增大时又会遇到个个的周期窗口，个个混沌区，当不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化在今后的研究中虫口模型程序初值取随机数设定初值得出表达式画出抛物线画出等分角线建立循环开始迭代迭代关系式画竖线，与抛物线相交于，点从，点画横线交等分角线于，点将映射所得的赋给下次迭代的初值结束循环虫口模型程序取随机的初值从连续取到，步长为将赋给迭代变量先进行循环迭代以达到稳定的定常解ξ迭代次，而不作图再进行循环，看定常解ξ与的关系用定常解进行迭代画图，将着重对具体现象的数学建模和计算机模拟，以便观察到更具体的现象参考文献，，，，，吴彤非线性动力学混沌理论方法及其意义清华大学学报，王德金，郑永爱分数阶混沌系统的延迟同步动力学与控制学报，孙庆华，包芳勋从线性到非线性和混沌谈数学的发展历程西安电子科技大学学报社会科学版，陈向炜，傅景礼，罗绍凯，梅凤翔系统动力学研究进展商丘师范学院学报，江富泉，李后强分形混沌理论与系统辩证论哲学动态，侯威，封国林，董文杰基于复杂度分析映射和模型的研究，王亥，胡健栋混沌扩频序列电子学报，王杰智，陈增强，袁著祉个新的混沌系统及其性质研究物理学报，傅新楚，周焕文，许凯华分叉混沌符号动力学武汉武汉大学出版社，王东生，曹磊混沌分形及其应用合肥中国科学技术大学出版社致谢本论文是在周林华老师的精心指导下完成的在此，我要对我的导师周林华在毕业设计期间，对我的学习生活上无微不至的关怀和帮助表示最诚挚的感谢和最衷心的祝福周老师在繁忙的教学和科研工作中花费了大量的心血和宝贵的时间对我的论文进行指导，论文中每点成绩的取得都是与老师的谆谆教诲分不开的老师们严谨的科学态度和治学之道是我终身学习的榜样，并将激励我在今后的人生道路上不断努力，积极进取并且让我深深体会到，认真的做好件事，所获得的成就感是任何东西都无法取代的，周老师给我的不仅仅是学科与知识的教诲，更是对我人生态度的教诲，请允许我再次向周老师表示最衷心的谢意我要深深感谢我的父母和其他亲人们，正是因为他们在生活上无微不至的关怀和精神上极大的支持和鼓励，才使我顺利完成了四年的大学学习，充实而愉快地度过了人生的重要阶段感谢数学系的其他老师对我学业上的帮助和指导和他们同走过的日子是无比的快乐开心最后我要感谢所有关心和帮助过我的朋友们，谢谢你们，我永远爱你们，附录洛伦兹模型程序，模型变量时域响应模型相图模型平面相图虫口模型程序取为，间的随机数固定定值将赋给迭代变量以为循环变量开始循环迭代进行迭代次画出每次迭代出的值，横坐标为迭代次数到混沌这途径年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数这就引起了数学物理界的广泛关注与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究世纪年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象作为门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成个完整的成熟理论但有的科学家对混沌理论评价很高，认为混沌学是物理学发生的第二次革命但有的人认为这似乎有些夸张对于它的应用前景有待进步揭示但混沌理论研究同协同学耗散结构理论紧密相关它们在从无序向有序和由有序向无序转化这研究主题有共同任务，因而混沌理论也是自组织系统理论的个组成部分近几年来，科学家们在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第类混沌，即时间序列混沌的控制实验英日科学家还在试验用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法混沌理论的现实意义混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯式的决定型因果律混沌不等同于混乱，它是种确定论系统中出现的貌似不规则的有序运动这种有序不同于我们所熟悉的有序寻常有序简单有序线性有序现在说的有序是乱中有序，是有序与无序的结合，是非线性序混沌序就是说到混乱它也是种确定性的混乱，形式的混乱混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间即原因与结果之间关系的个基本性的认识我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为这思想已被群数学家和物理学家，其中包括威廉迪托艾伦加芬科和吉姆约克，变成了项非常有用的实，未找到引用源。

始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是个优点你必须做的切，是确保得到你想要的大变化对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这要求的控制方案这个方法已取得若干成功混沌控制的最早成就之，是仅用卫星上遗留的极少量肼使颗死卫星改变轨道，而与颗小行星相碰撞美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转圈，每圈用射出的少许肼将卫星轻推下，最后实现碰撞混沌理论的特征在证券市场中也存在周线图看上去与日线图小时线图分钟线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用分钟线图或者小时线图来推断日线图或周线图的形状，为投资决策服务混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了个新的窗口所以，许多科学家认为，世纪物理学永放光芒的三件事是相对论量子论和混沌学的创立本文的写作安排本文主要分为五个部分，具体如下第章，绪论简要介绍了混沌理论和混沌理论的现实意义第二章，混沌在数学中的应用本章主要介绍混沌理论的数学定义数学特征和数学中的具体应用第三章，洛伦兹模型本章着重介绍了洛伦兹模型对其进行了计算机模拟第四章，虫口模型本章中，实现虫口模型的计算机模拟第五章，结论总结全文并展望下步的工作方向第二章混沌的理论初步混沌的数学定义定义称为是拓扑传递的，如对任何对开集，，存在，使直观上，拓扑传递映射有这样的些特点，它们在迭代下从个任意小的邻域最终移动到其他任何邻域因此，动力系统不能被分解为两个在映射下不变的，非交的开集注意，如映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的反过来也正确设为集合称为在上是混沌的，如果有对初始条件的敏感依赖性是拓扑连续的周期点在中稠密扼要的说，混沌的映射具有三个要素不可预测性，不可分解性，还有种规律性的成分因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的因为拓扑传递性，它不能被细分或者不能被分解为两个在下互不影响的子系统两个不变的开子集合然而，在这混乱性态中，毕竟有规律性的成份，即稠密的周期点混沌的特征对初始条件的敏感依赖性这种敏感的依赖性是混沌系统的典型特征意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果洛伦兹在他的天气模型中发现了这特性定义有对初始条件的敏感依赖性，如果存在，对任何个和的任何邻域，存在和，使得在生活中，人们知道串事件往往具有个临界点，那里小小的变化模型相图模型相图图当时，模型的状态变量中的曲线呈模糊状，越来越不规则，而模型相图则变为由密集的点组成的圆模型的状态变量的时域响应模型相图模型相图图当时，模型的状态变量趋向于震动的曲线，而模型相图则成为蝴蝶的翅膀形状模型的状态变量的时域响应模型相图模型相图图当时，模型的状态变量图震动的愈发强烈，而模型相图依旧为蝴蝶的翅膀行，但是翅膀较上图更密集