任意给定的，就有，特别有因而由得，命，就得，但知道，，这和矛盾，从而证明了级数在，上致收敛于注如果把定理中的有界闭区间，换成开区间或者无穷区间，结论就可能不成立例如级数的每项在区间，中非负且连续，它的和函数也在，中连续，但该级数在，中并不致收敛致条件判别法下面讨论满足致条件，来探讨的致收敛性，得到函数项级数的致条件判别法定理设函数列在闭区间，上连续，且存在点，收敛，使得在点收敛且在闭区间，上满足致条件则函数项级数在，上致收敛证已知在点，收敛，即任意，存在，使得时，对任意，有又因为在闭区间，上满足致条件，即存在常数，使得对于任意两点，都有存在，当时，对切，任意，任意有，于是任意，任意，任意即在，上致收敛导数判别法下面探讨在函数列可微条件下，当在，上致收敛时，函数项级数的致收敛性定理设函数列在闭区间，上连续，可微，且存在点，收敛，使得在点收敛在，上致收敛则函数项级数在，上致收敛证已知在点，收敛，在，上致收敛，即任意，存在，使得时，对任意，有对任意有根据拉格朗日中值定理，任意，任意，任意有介于与之间于是任意，任意，任意即在，上致收敛点列判别法下面，把在点集归结到点列的情况下来确定函数项级数的致收敛性定理在点集上致收敛于的充分必要条件是对任点列都有证必要性若在点集上致收敛于，则于是对任意点列，都有充分性用反证法假设在点集上不致收敛于，则，，，及，使得于是，取，与，使取，与，使取，与，使这样就得到点列，使，与已知条件相矛盾总结本文介绍了多种判断函数项级数致收敛的方法，并对这些方法进行了理论上的证明，为我们处理函数项级数相关的问题提供了丰富的解决方法参考文献华东师范大学数学系，数学分析下高等教育出版社，年月第三版刘玉琏，傅沛仁，林玎数学分析讲义高等教育出版社，年月第二版邓东皋，尹小玲数学分析简明教程下高等教育出版社，年月第二版判别法等对于函数项级数的致收敛性，有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法，是个值得研究的课题函数项级数在致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性可微性以及可积性函数项级数在致收敛时，求和和求导求和和求积分的顺序可以交换顺序并且，往往交换顺序以后方便我们解决些函数项级数中的基本问题这个应用非常重要，因此，本文将对函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结定义函数项级数定义定义设是定义在数集上的个函数列，表达式，称为定义在上的函数项级数，简记为或。

称为函数项级数的部分和函数列。

函数项级数致收敛的定义若函数项级数的部分和函数列在数集上致收敛于，则称函数项级数在上致收敛于或称在上致收敛我们可以看到，函数项级数的致收敛性归结到其部分和函数列的致收敛性的研究上。

例考察级数的致收敛性分析由于函数项级数的致收敛性要归结到它的和函数列的致收敛性上。

所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当时，，对于任意，由于因此级数的致收敛性等价于函数列对区间的致收敛于零。

证明由等比级数求和公式知当时，对任意，下面证明此函数列是致收敛于零的。

由于，所以在有界且对于任意给定的，存在，当，时，有。

于是对所有自然数，有，而当时，由知，当时于是在地致收敛于零，因此存在，当时，对所有，有这样当时，对所有，有，因此级数在上致收敛。

定义设，，都是在数集上由定义的函数，若存在个在上由定义的函数，对任意的，存在自然数，使得当时，对切均有则称函数项级数在数集上致收敛于函数项级数致收敛的判定方法下面将给出些判别函数项级数致收敛的基本方法柯西致收敛准则，维尔斯特拉斯判别法判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法以及不常用的方法，例如两边夹判别法比较判别法单调判别法致条件判别法导数判别法点列判别法而等比级数当公比，∈成立，则函数项级数在上致收敛证明由定理条件对，∈成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上致收敛注当定理条件成立时，级数在上收敛且绝对收敛极限形式设为定义在数集上的函数列，若，对∈成立，则函数项级数在上致收敛。

定理对数判别法设为定义在数集上正的函数列，若存在，则若对则函数项级数在上致收敛若对有时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上致收敛而当对成立时，有，级数当时，对切自然数和切，有，由，，所以在数集上致收敛定理确界判别法函数项级数在区间上致收敛于的充要条件证明充分性已知函数项级数在区间上致收敛于，，有从而，必要性已知，即，，有从而，有，即函数项级数在区间上致收敛于其它判别方法在熟悉以上常规的判别法以后，在处理些问题时还会用到其它的判别方法，例如两边夹判别法比较判别法单调判别法致条件判别法导数判别法点列判别法等，下面将介绍两边夹判别法对任意自然数和，都有成立，又与均在点集上致收敛于，则也在点集致收敛于单调判别法下面讨论在级数的和函数单调条件下，加上若干条件，可推出函数项级数的定理定理设级数的每项在有界闭区间，上连续且非负，如果它的和函数也在，上连续，那么该级数在，上致收敛证用记级数的部分和，由于，故对每个给定的，是单调增的数列记，，则是非负的单调减得数列我们要证明在，上致趋于如果不是这样，那么存在个，不论多大，总能在，这几方面来介绍函数项级数致收敛的判别方法常用判别方法定理柯西致收敛准则函数项级数在数集上致收敛的充要条件对任意的正数，总存在正整数，使得当时，对切和切正整数，都有或及任何正整数，有又对切有根据函数项级数致收敛的柯西准则，级数在上致收敛定理阿贝尔判别法在区间上致收敛对于每个，是单调的在上致有界，即对切和正整数，存在正数，使得，则级数在上致收敛。

证明由，任给，存在正数，使得当及任何正整数，对切，有又由及阿贝尔引理得于是根据函数项级数致收敛的柯西准则就得到定理的结论。

定理余项判别法函数项级数在数集上致收敛于的充要条件是定理狄利克雷判别法是部分和函数，在上致有界对于每个，是单调的在上则级数在上致收敛证明由，存在正数，对切，有因此当，为任意正整数时，都有对任何个，再由及阿贝尔引理，得到再由，任给，存在正数，当时，对切，由，所以于是由致收敛的柯西准则，级数在上致收敛注意利用狄利克雷判别函数级数致收敛时，三个条件都应满足同样的，结合数项级数比式判别法和根式判别法，可以得到函数项级数致收敛性的比式判别法和根式判别法，同时我们还可得到函数项级数致收敛性的对数判别法积分判别法定理比式判别法设为定义在数集上的函数列，且记，存在正整数及实数使得，，对任意的，成立，则函数项级数在上致收敛证明易见设幂级数的收敛半径，则当或收敛时，在，或，上致收敛当在，内致收敛当且仅当在，上致收敛本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究关键词函数项级数致收敛，，，，，，，目录第章绪论引言定义函数项级数定义函数项级数致收敛性的定义函数项级数致收敛的判定方法定理柯西致收敛准则定理余项判别法定理魏尔斯特拉斯判别法定理狄利克雷判别法定理阿贝尔判别法定理第二章函数项级数的收敛判别方法