，所以是线性有界算子。且，特别地取则，，从而有由可知线性算子空间命题线性算子空间如果，是同数域上的线性赋范空间，那么把的切线性算子构成的集合称为的线性算子空间，记为即的线性算子是。命题线性有界算子空间如果，是数域上的赋范线性空间，那么到中的有界线性算子的全体记作，。命题算子范数如果是线性赋范空间到线性赋范空间的有界线性算子，那么称为算子的范数。算子范数如果是线性赋范空间到线性赋范空间的有界线性算子，能够使对切都成立的正数的下确界，称为算子的范数，记为，即。例证明对，因为所以从而有，而所以，又因为，所以因为，记明显地有及，而为的上确界，即是上界中的最小者，所以，因此由可得例设，，证明对，存在，使得。证明对，由，可取，使得，令，从而有。例线性积分算子的范数如果，在矩形，上连续，那么定义了上的线性有界算子，那么有，。定理算子图像如果，是线性赋范空间，是线性算子，如果的图像是乘积空间中的闭集，那么称是闭线性算子简称为闭算子。引理闭算子的等价条件如果，是线性赋范空间，是线性算子，那么是闭算子等价于，当，时必有而且。证明必要性当时，明显的有由条件知且，那么有，即中每收敛点敛的极限均存在中，从而有是闭集即是闭算子。充分性如果是闭算子，那么当，，时，明显的有，而且在乘积空间中有，又因为是中的闭集，所以即时有。有界性与闭性对于线性算子已有三个重要的概念连续性有界性闭性，我们已经知道对于线性算子的连续性和有界性是等价的，因此对于线性算子实际上只有两个不同的概念即有界性与闭性。下面我们来研究有界性与闭性的关系即有界线性算子在什么条件下是闭线性算子闭线性算子在什么条件下是有界线性算子定理如果是线性有界算子，若是的闭线性子空间，那么为闭线性算子。特别地当时，是闭线性算子。证明当时，要证明，因为等价于又因为是闭集，所以。由于是有界的，则。从而有。由引理知是闭线性算子。例令，，，，定义，如下，，证明是无界的，但是闭线性算子。证明显然知是无界算子。下面证明是闭算子，设且由于，中的收敛是函数列的致收敛，由即在，中是致收敛于的，因此有，即，从而有且，由引理知是闭线性算子。参考文献胡适耕泛函分析北京高等教育出版社，夏道行等实变函数论与泛函分析北京人民教育出版社，张恭庆等泛函分析讲义上册北京北京大学出版社，李广民，刘三阳应用泛函分析原理陕西西安电子科技大学出版社，李晓爱线性赋范空间上泛函列的致连续性定理延安大学学报自然科学版李宗铎线性赋范空间中几个概念的探讨岳阳大学学报王艳博，张云峰关于泛函分析中定理的推广哈尔滨理工大学学报郑维行，王声望实变函数与泛函分析概要北京人民教育出版社，刘培德泛函分析基础北京科学出版社，叶怀安实变与泛函安徽中国科学技术大学出版社，赵焕光泛函分析入门四川四川大学出版社，致谢非常感谢何瑞强老师在我大学阶段尤其毕业设计阶段给我的指导，从最初的论文选题，到资料收集，到问题的设计，到提纲的拟定，到论文定稿，他给了我耐心的指导和很多的鼓励。在大学期间，何老师给我们上的各种课程，给予我们很多的知识，体现何老师渊博的专业知识和严谨的治学态度在修改论文时总是牺牲他的休息时间，他的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在生活中何老师的为人对我的论文写作乃至我人生都有定的积极影响，在此我向他表示我诚挚的谢意。其次，我要感谢所有任课老师在这四年来给自己悉心教导，是他们教给我专业知识，教导我如何学习，教会我如何做人。正是由于他们的指导，我才能在各个方面取得显著的进步，在此我向他们表示衷心的感谢，并祝老师们培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下,再次，我要感谢和我同度过大学学习生涯的同窗好友闫芹娟邓美兰曹海琴程文王瑷玲景娟对我的关心与帮助。最后，我要感谢我的家人，他们的鼓励与关怀给我的生活提供了无穷的动力与源泉，促使我不断进步。所以是线性的。，，则，那么令，则从而是有界的。所以是有界的。令，则所以是有界的。例证明通过，固定，定义上为线性泛函，问是有界的吗证明是泛函则所以是线性的。，，即，使所以是有界的。命题线性连续如果或复数域是线性泛函且在上连续，那么就称是上的线性连续泛函。定理若是的线性子空间，，那么在上连续在点处连续。证明必要性在上连续，显然有在连续。充分性设，则在连续于是有那么有即在点连续，因此在上连续。特别提醒线性泛函在连续，那么就有在上连续。线性有界泛函与线性连续泛函命题如果是上的线性泛函，则在上连续等价于在上有界。证明必要性用反证法，假设在上无界，使令那么而这与在点连续相矛盾，所以有在上有界。充分性设在上有界，则有从而有在点连续，由定理可知在上连续。例，定义，则是上的线性连续泛函，称为零泛函。例对令，则，有所以是，上的线性泛函。又由于所以是，上的线性有界泛函或线性连续泛函。例设，证明如果有界，则，是闭集。请问反之如何证明如果有界，那么连续，则，，使，所以有即所以，是闭集。反之不真。例如取，，，，，则连续，若，则，是闭集，但是无界算子。例设，是线性赋范空间，，是线性有界算子。证明如果，则对任何给定闭球中的切，存在，当时有证明设是给定的闭球并置于球之中，由于，那么对于，存在，当时有，所以有即命题得证。共轭空间命题泛函范数如果，定义的范数为可以验证满足范数的三条公理，事实上有正定性，有，正齐性对∂∈，有，由定理，把泛函延拓到全空间得，则满足命题延拓定理的几点应用定理若那么存在唯的使有，且有。如果是线性赋范空间，那么与二次共轭的个子空间线性等距同构。推广的刘维尔定理如果是复的巴拿赫空间，是有界整函数，那么，为常数。证明由于是有界的，那么有，所以是有界的整函数，由刘维尔定理可知，，有，即由定理可知即。线性算子线性有界算子命题算子若，是同数域上的两个线性赋范空间，为子集，若存在种对应的法则，使对任何有唯的与之对应，那么就称是中到的算子。或者称为映射命题线性算子如果，是同数域上的两个线性赋范空间，是的线性子空间，设，若对于任何，，有，那么称为上的线性算子。为上的线性算子，记为，是的值域。那么称为零空间或核。注是的线性子空间，是的线性子空间。如果，那么命题算子有界如果是线性算子，那么称在上有界是指，使得对任何有，。命题算子连续如果，，若对任意，存在，使得当时，有，那么称在点连续若在的每点都连续，那么称在上连续。线性有界算子与线性连续的关系命题如果是线性算子，那么在上连续等价于在点上连续。定理线性有界与线性连续如果，是同数域上的线性赋范空间，是线性子空间，的线性算子，那么在上连续等价于在上有