的半径为，弦，弦，则度数为或考点垂径定理圆周角定理解直角三角形分析连接，过作⊥于，⊥于，根据垂径定理求出值，根据解直角三角形的知识求出和，然后分两种情况求出即可解答解有两种情况如图所示连接，过作⊥于，⊥于由垂径定理得如图所示连接，过作⊥于，⊥于由垂径定理得═，故答案为或黑龙江龙东分如图，是的直径，点为弧的中点，点是直径上的个动点，则的最小值为考点轴对称最短路线问题圆周角定理分析过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由勾股定理即可求解解答解过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，关于直线对称过作⊥于，在中，即的最小值故答案为三解答题•佛山如图，的直径为，弦，是弦上的个动点，求的长度范围解析垂径定理勾股定理过点作⊥于点，连接，由垂径定理可知，再根据勾股定理求出的长，由此可得出结论解答解过点作⊥于点，连接，的直径为，点评本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键•柳州如图，在中，的角平分线交于，交的外接圆于求证∽请连接且交于点，若点恰好是的中点求证四边形是菱形解析相似三角形的判定与性质菱形的判定圆周角定理根据圆周角定理求出，根据相似三角形的判定推出即可根据垂径定理求出⊥，根据线段垂直平分线性质得出根据菱形的判定推出即可解答证明的角平分线，∽，弧弧，为半径，⊥，为的中点，四边形是菱形点评本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力贵州省黔西南州分如图，是的直径，弦⊥与点，点在上求证∥若求的直径解析圆周角定理圆心角弧弦的关系锐角三角函数的定义几何综合题要证明∥，可以求得，根据可以确定，又知，即可得根据题意可知，则，即，所以可以求得圆的直径解答证明又∥解连接为的直径，又⊥即，又知，直径为点评本题考查的是垂径定理和平行线圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键的直径，是的弦，直径⊥于点若点在优弧上，则考点圆周角定理垂径定理分析解由和是的直径，可推出又有⊥，得到∥，于是有∽，根据相似三角形的性质即可得到结论解答解和是的直径，又⊥，∥，∽即，，故答案为点评本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键山东潍坊正方形内接于，如图所示，在劣弧上取点，连接，过点作∥交于点，连接，且与相交于点，求证四边形是矩形考点正方形的性质矩形的判定圆周角定理分析直接利用正方形的性质圆周角定理结合平行线的性质得出，进而得出答案直接利用正方形的性质的度数是，进而得出，则解答证明正方形内接于，又∥，四边形是矩形正方形内接于，的度数是又，又在矩形中达标检测答案选择题•铜仁如图所示，点在圆上则的度数是解析圆周角定理根据圆周角定理直接解答即可解答解，故选点评本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的半是解题的关键•长春如图，在中，是直径，是弦，点是上任意点若则的长不可能为解析圆周角定理勾股定理圆心角弧弦的关系首先连接，由圆周角定理可得，可得，继而求得的长，然后可求得的长求得的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得的度数，利用余弦函数，即可求得答案解答解过点作⊥于，则，内接于，与互补的半径为，•，故选二填空题四川巴中如图，是的圆周角则考点圆周角定理分析根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理计算即可解答解由圆周角定理得故答案为山东省青岛市如图，是的直径是上的两点，若，则分析圆周角定理根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可解答解是的直径由圆周角定理得故答案为•常德如图，为的直径，⊥，若则圆心到弦的距离为解析垂径定理勾股定理连接，由得出的长，再根据垂径定理求出的长，根据勾股定理求出即可解答解连接，为的直径，⊥，故答案为点评本题考查了勾股定理和垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键重庆市如图是的半径，点在上，连接若，则度分析根据圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的半可得答案解答解⊥，故答案为点评此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的半广西百色分如图，的直径取值范围，继而求得答案解答解连接，在中，是直径，点是上任意点故选点评此题考查了圆周角定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用黑龙江齐齐哈尔下列命题中，真命题的个数是同位角相等经过点有且只有条直线与这条直线平行长度相等的弧是等弧④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形个个个个分析命题与定理根据平行线的性质对进行判断根据平行公理对进行判断根据等弧的定义对进行判断根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形解答解两直线平行，同位角相等，所以经过直线外点有且只有条直线与这条直线平行，所以在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以选项顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确故选贵州毕节如图，点在上，则考点圆周角定理分析连接，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质解答即可解答解连接故选四川眉山如图，是上的两个点，是直径若，则分析先根据圆周角定理求出及的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，进而可得出结论解答解是直径，故选点评本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的半是解答此题的关键陕西如图，的半径为，是的内接三角形，连接若与互补，则弦的长为考点垂径定理圆周角定理解直角三角形分析首先过点作⊥于，由垂径定理可得，又由圆周角定理，可四川眉山如图，是上的两个点，是直径若，则陕西分如图，的半径为，是的内接三角形，连接若与互补，则弦的长为二填空题四川巴中如图，是的圆周角则山东省青岛市如图，是的直径是上的两点，若，则•常德如图，为的直径，⊥，若则圆心到弦的距离为重庆市如图是的半径，点在上，连接若，则度广西百色如图，的直径过弦的中点，若，则青海西宁的半径为，弦，弦，则度数为黑龙江龙东如图，是的直径，点为弧的中点，点是直径上的个动点，则的最小值为三解答题•佛山如图，的直径为，弦，是弦上的个动点，求的长度范围•柳州如图，在中，的角平分线交于，交的外接圆于求证∽请连接且交于点，若点恰好是的中点求证四边形是菱形贵州省黔西南州如图，是的直径，弦⊥与点，点在上求证∥若求的直径知识归纳答案圆上各点到圆心的距离都等于半径圆是轴对称图形，任何条直径所在的直线都是它的对称轴圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的半半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形的对角互补基础检测答案浙江省绍兴市分如图，是的直径，点在上，则的度数是考点圆周角定理分析直接根据圆周角定理求解解答解连结，如图故选广西南宁分如图，点，在上，⊥，⊥，垂足分别为，则的度数为考点圆周角定理分析先根据四边形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论解答解⊥，⊥，垂足分别为故选点评本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的半是解答此题的关键贵州安顺分如图，是的直径，弦⊥于点，若则分析连接，根据垂径定理得出，然后在中由勾股定理求出的长度，最后由，即可求出的长度解答解如图，连接弦⊥于点在中故答案为江苏省宿迁如图，在中，已知，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为分析如图，作⊥于，在中利用度性质即可求出，再根据垂径定理可以求出解答解如