，点是上不含端点，任意点，把沿折叠，当点的对应点落在矩形对角线上时，或考点矩形的性质翻折变换折叠问题分析分两种情况探讨点落在矩形对角线上，点落在矩形对角线上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果解答解点落在矩形对角线上，如图，矩形中，根据折叠的性质得⊥∽即，解得点落在矩形对角线上，如图，根据折叠的性质得，∽即，解得故答案为或点评本题考查了折叠问题勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键三解答题本大题共个小题，共分解方程考点解元二次方程因式分解法分析因式分解法求解可得公式法求解可得解答解或，解得或，则点评本题主要考查解元二次方程的能力，熟练掌握解元二次方程的几种常用方法直接开平方法因式分解法公式法配方法，结合方程的特点选择合适简便的方法是解题的关键把大小和形状完全相同的张卡片分成两组，每组张，分别标上，将这两组卡片分别放入两个盒记为盒盒中搅匀，再从两个盒子中各随机抽取张从盒中抽取张卡片，数字为奇数的概率是多少若取出的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜若取出的两张卡片数字之和为偶数，则小亮胜试分析这个游戏是否公平请说明理由考点游戏公平性概率公式列表法与树状图法分析找出中的奇数个数，根据概率公式即可得出结论分别找出小明获胜与小亮获胜的情况，二者比较后即可得出结论解答解在中为奇数的有，从盒中抽取张卡片，数字为奇数的概率为取出的两张卡片数字之和为奇数的情况有四种取出的两张卡片数字之和为偶数的情况有五种，小亮获胜的概率高，此游戏不公平点评本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上将绕点顺时针旋转得到在网格中画出如果以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请你写出的坐标计算点旋转到的过程中所经过的路径长结果保留考点作图旋转变换轨迹分析根据图形旋转的性质画出即可根据点在坐标系中的位置写出其坐标即可由勾股定理求出的长，根据弧长公式即可得出结论解答解如图，即为所求由图可知，点旋转到的过程中所经过的路径长点评本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键如图，次函数与反比例函数在第象限交于点与轴的负半轴交于点，且求函数和的表达式已知点试在该反比例函数图象上确定点，使得，求此时点的坐标考点反比例函数与次函数的交点问题线段垂直平分线的性质分析先利用勾股定理求的长，则，利用待定系数法求次函数和反比例函数的解析式因为，所以在的中垂线上，而的中垂线所在的直线为，将代入反比例函数可求得的坐标解答解过作⊥轴于，作⊥轴于把代入次函数得，解得，次函数的解析式为，把，代入反比例函数得，反比例函数解析式为的中垂线为直线，当时，点评本题考查了利用待定系数法求次函数和反比例函数的解析式线段垂直平分线的性质，明确到条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时注意各象限内点的坐标特征，与勾股定理相结合，确定点的坐标如图，是的直径，是的弦，点是外点，连接，求证是的切线连接，若∥，且，的半径为，求的长考点切线的判定分析连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论证明∽，得出对应边成比例，即可求出的长解答证明连接，如图所示是的直径，即⊥，是的切线解的半径为，∥又，∽即，点评本题考查了切线的判定圆周角定理平行线的性质相似三角形的判定与性质熟练掌握圆周角定理切线的判定是解决问题的关键分秋•新乡期中启明公司生产种产品，每件产品成本是元，售价是元，年销售量为万件为了获得更好的效益，公司准备拿出定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是万元时，产品的年销售量是原销售量的倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费试写出年利润万元与广告费万元的函数关系式，并计广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元为了保证年利润不低于万元，则广告费的取值范围是考点二次函数的应用分析根据题意可以得到关于的函数关系式，然后将与的关系式化为顶点式，从而可以解答本题根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题解答解由题意可得，当时，取得最大值，此时，即年利润万元与广告费万元的函数关系式，当广告费是万元时，公司获得利润最大，最大年利润是万元令，解得，故答案为点评本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件分秋•新乡期中已知正方形的边长为，点为正方形内动点，若点在上，且满足∽，延长交于点，连接如图，若点在线段上，则与的位置关系是⊥，与的数量关系是如图，在点运动过程中，满足∽的点在的延长线上时，中的关系是否仍然成立给出证明在运动过程中，的最小值为考点相似形综合题分析根据相似三角形的性质得到，根据正方形的性质证明，得到⊥，根据相似三角形的对应边的比线段求出与的数量关系同的证明方法类似根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，根据勾股定理计算即可解答解∽即，⊥，∽∽故答案为⊥成立∽即，⊥，∽∽，⊥，点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，则，则的最小值为，故答案为点评本题考查的是相似三角形的判定和性质圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键分秋•新乡期中如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线另个交点为，点是抛物线上动点，过点作⊥轴于点，交直线于点求抛物线的解析式当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标如图，连接，以点为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为的，是否存在点，使点恰好落在直线上若存在，请直接写出相应点的横坐标写出两个即可若不存在，请说明理由考点二次函数综合题分析利用待定系数法求二次函数的解析式先把点代入直线中求出的值，表示，当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况当时，过作⊥于，根据列方程解出即可当时，先表示的长，利用勾股定理得，列方程解出即可先根据点在抛物线上，在直线上设如图，作辅助线，构建两个相似三角形，证明∽，则，由两直角边比为列方程组解出横坐标如图，同理列方程组解出的值解答解把，代入抛物线中得，解得，抛物线的解析式为把，代入直线得，直线的解析式为，设，当时，过作⊥于，⊥，解得当时当时，在中由勾股定理得解得舍当时综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标是，或设如图，过作∥轴，过作∥轴，交于，过作⊥，垂足为，则，∽，则，解得，如图，过作∥轴，过作⊥，过作⊥，垂足分别为，同理得∽解得，综上所述，相应点的横坐标为或或或点评本题是二次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求解析式还考查了二次函数的性质相似三角形的性质和判定，注意根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点经过点到达的路径总长解答解如图，为所作如图，为所作，点经过点到达的路径总长把个足球垂直于水平地面向上踢，时间为秒时该足球距离地面的高度米适用公式当时，求足球距离地面的高度当足球距离地面的高度为米时，求考点二次函数的应用分析将代入解析式求解可得将代入解析式，解方程可得解答解当时米，当时，足球距离地面的高度为米即，解得或，故经过或时，足球距离地面的高度为米数学活动旋转变换如图，在中将绕点逆时针旋转得到，连接，求的大小如图，在中将绕点逆时针旋转得到，连接，以为圆心长为半径作圆Ⅰ猜想直线与的位置关系，并证明你的结论Ⅱ连接，求线段的长度如图，在中将绕点逆时针旋转角度，得到，连接和，以为圆心长为半径作圆，问与满足什么条件时，直线与相切，请说明理由考点圆的综合题分析根据，只要求出即可Ⅰ结论直线与相切只要证明即可Ⅱ在中，利用勾股定理计算即可如图中，当时，直线与相切只要证明即可解决问题解答解如图中，是由旋转得到Ⅰ结论直线与相切理由如图中⊥，直线与相切Ⅱ在中如图中，当时，直线与相切理由，⊥，直线与相切如图，在射线围成的菱形中，是射线上点，与都相切与的延长线交于点过作⊥交线段或线段于点交线段或线段于点以为边作矩形，点分别在围成菱形的另外两条线段上求证当矩形的面积为时，求的半径考点切线的判定菱形的性质矩形的性质扇形面积的计算分析设切于点，连接，由切线的性质可知先由菱形的性质求得的度数，然后依据含直角三角形的性质证明即可设交于点，连接，交于点先依据特殊锐角三角函数值求得的长，设的半径为，则，当点在上时在中，依据特殊锐角三角函数值可得到的长用含的式子表示，由图形的对称性可得到的长用含的式子表示，从而得到，接下来依据矩形的面积列方程求解即可当点在边上时，则，最后由列方程求解即可解答解如图所示设切于点，连接，则四边形为菱形，