或如果由计算没有用到或者恰用了次，显然不满足条件所以由计算只能恰好次或者次用到，共有下面种情况若，，，则，解得若，，，则，解得若，，，则，解得若，，，则，解得综上，的所有取值的集合为分Ⅲ依题意，设由知，或，假设从到恰用了次递推关系，用了次递推关系，则有，其中，当是偶数时，，无正数解，不满足条件当是奇数时，由，得，所以又当时，若，有，，即所以，的最大值是即分解Ⅰ因为是个公比为，等比数列，所以因为成等差数列，所以，即解得，舍又它的前和，得，，解得所以分Ⅱ因为，所以分当时，，因为是中最小的数，所以，从而当时，，，因为是中最小的数，所以，从而。综上，这两种情况下都有。数列序列，的的值最小，，，，证明Ⅰ当时，令，，则，且对，，都有，所以具有性质相应的子集为，分Ⅱ若，，由已知，又，所以所以若，，可设，，且，此时所以，且所以若，，，则，所以又因为，，所以所以所以综上，对于，，，都有分Ⅲ用数学归纳法证明由Ⅰ可知当时，命题成立，即集合具有性质假设时，命题成立即，且，都有那么当时，记并构造如下个集合，，显然又因为，所以下面证明中任意两个元素之差不等于中的任元素，若两个元素，，，则，所以若两个元素都属于，由Ⅱ可知，中任意两个元素之差不等于中的任数，从而，时命题成立综上所述，对任意正整数，集合具有性质分Ⅰ由以及可得所以从第二项起为等比数列经过验证为等比数列分Ⅱ由于所以有，显然我们证明对任意的，，都有假设存在，，使得，则由Ⅱ知，此时，对于任意的，，不可能同时为，矛盾，所以因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为分下面再证明的唯性若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾所以结论成立分解Ⅰ，作差法可得，当时，当时，，存在，使得数列是回归数列分，前项和，根据题意定是偶数，存在，使得数列是回归数列分Ⅱ，根据题意，存在正整数，使得成立即，，，，即分Ⅲ设等差数列总存在两个回归数列，使得分证明如下数列前项和，时，时，时，为正整数，当时，存在正整数，使得，是回归数列分数列前项和存在正整数，使得，是回归数列，所以结论成立分Ⅰ解，分Ⅱ证明设数列中段连续为的项从开始，则由题意，令，则，中有奇数个当，中无时，因为，所以，所以，，，此时连续项为分当，中有时，若，即，则，因为，中有奇数个，所以，此时连续项为分若，即连续个乘以，则连续个乘以，连续个乘以，其中如果为奇数，那么，，此时连续项为如果为偶数，那么，此时仅有项综上所述，连续为的项不超令则有叠加得所以有，叠加可得，所以最小值为分Ⅲ由于，，若可得，若可得同理，若可得或，若可得或具体如下表所示所以可以为或此时相应的为或分解Ⅰ，分Ⅱ，假设当时，依题意有当时，依题意有，当时，依题意有，，，，由以上过程可知若，在无穷数列中，第项后总存在数值为的项，以此类推，数列中有无穷项为分Ⅲ证明由条件可知，，因为中任何项不等于，所以，若，则因为，所以若，则，于是若，则，于是若，则，于题意不符所以，，即若，则因为，所以因为，所以所以，，即综上所述，对于切正整数，总有，所以数列是单调递减数列分解Ⅰ，分Ⅱ对于，考虑元素，，显然，，，对于任意的，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中分又因为取定，则定存在且唯，而且，且由的定义知道，，分这样，集合中元素的个数定小于或等于集合中元素个数的半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过分Ⅲ，定义元素，的乘积为两个数中最大的数，对于数对序列求，的值记为，四个数中最小值，对于由两个数对，组成的数对序列，和试分别对和的两种情况比较和的大小在由个数对，组成的所有数对序列中，写出个数对序列使最小，并写出的值只需写出结论朝阳区届高三二模已知集合，，且若存在非空集合使得，且，并，，都有，则称集合具有性质称为集合的子集Ⅰ当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集，Ⅱ若集合具有性质，集合是集合的个子集，设，求证，，，都有Ⅲ求证对任意正整数，集合具有性质东城区届高三二模数列中，定义，Ⅰ若，，求Ⅱ若，，求证此数列满足Ⅲ若，且数列的周期为，即，写出所有符合条件的丰台区届高三模已知数列是无穷数列，是正整数Ⅰ若，，写出，的值Ⅱ已知数列中，求证数列中有无穷项为Ⅲ已知数列中任何项都不等于，记，，为，较大者求证数列是单调递减数列海淀区届高三二模已知集合，，其中，，称为的第个坐标分量若，且满足如下两条性质中元素个数不少于个，存在使得的第个坐标分量都是则称为的个好子集Ⅰ若，为的个好子集，且，，写出Ⅱ若为的个好子集，求证中元素个数不超过Ⅲ若为的个好子集且中恰好有个元素时，求证定存在唯个，，使得中所有元素的第个坐标分量都是石景山区届高三模若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是回归数列Ⅰ前项和为的数列是否是回归数列并请说明理由通项公式为的数列是否是回归数列并请说明理由Ⅱ设是等差数列，首项，公差，若是回归数列，求的值Ⅲ是否对任意的等差数列，总存在两个回归数列和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由西城区届高三二模已知任意的正整数都可唯表示为，其中，，对于，数列满足当，中有偶数个时，否则如数可以唯表示为，则Ⅰ写出数列的前项Ⅱ求证数列中连续为的项不超过项Ⅲ记数列的前项和为，求满足的所有的值结论不要求证明朝阳区届高三上学期期末已知有穷数列，的各项均为正数，且满足条件Ⅰ若，，求出这个数列Ⅱ若，求的所有取值的集合Ⅲ若是偶数，求的最大值用表示朝阳区届高三上学期期中已知等差数列的首项，公差，前项和为，且Ⅰ求数列的通项公式Ⅱ求证东城区届高三上学期期末设是个公比为，等比数列，成等差数列，且它的前项和Ⅰ求数列的通项公式Ⅱ令，，求数列的前项和参考答案选择填空题答案解析试题分析是等差数列，，，，，，故填解析由等差数列的性质，，，于是有，，故故，，为的前项和中的最大值，二解答题答案的元素为和详见解析详见解析如果，取，则对任何，从而且又因为是中的最大元素，所以解析ⅠⅡ因为集合存在个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数由，可归纳证明对任意，是的倍数如果，则的所有元