串所有数的和为或经过次操作可达到要求不可能因为每次操作后，每堆码数要么加，要么少，而被除余数分别为，经过任何次操作后余数分别是，不可能同时被整除不可能我们设想个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白黑白黑白的次序前进因此，不管参观者怎样走法，第次只能走到间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有，，，，，，，，，，，若能分成张满足条件的纸片，因为其面积之和应为，所以满足条件的有如图或如图若能分成张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为，但上面排在前列的个长方形的面积之和为所以分成张满足条件的纸片是不可能的略的结果都是这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读作图计算及猜想等步骤关键是探索当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分即草地面积情况猜想依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是方法是将小路沿左右两个边界剪去，将其中侧的草地平移个单位向另侧草地靠拢，得到个新的矩形此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是，其水平方向的长度变成了，所以草地面积是设而不求微探究例乙所得差是的倍数例设水果质量为，进价为，售价在进价的基础上至少提高，则，解得例设白天的单价为元度，晚间的单价比白天低的百分数为，即晚间的单价为元度，又设月份晚间用电量为度，则月份白天用电量为度，月份电费为元，月份白天用电量为度，月份晚间用电量为出口进口图图草地草地度，月份电费为由题意得，，解得例设所切下的合金的重量为千克，重千克的合金的含铜百分数为，重千克的合金的含铜百分数为，于是有，整理得因为，所以，因此，即所切下的合金重千克练练设甲出发小时后再用小时即可追上乙，甲原速为，乙速为，由题设知当甲出发行驶小时时，乙已经行驶了小时，故有，即，故，小时故甲共走了小时设月份每件冬装的出厂价为元，则每件成本为元，月份每件冬装的利润为元，又设月份销售冬装件，则月份销售冬装件，故月份的利润总额与月份相比，增长设两地之间的距离为，汽车行驶的速度为，汽车从地到地所用的时间为，则，相加得，故故，同理，，，四式相加得设每台计算器元，每本数学竞赛讲座书元，则，解得，故可购买计算器台，书本分钟分钟设需要开放个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是，每分钟来排队的人数是，则由，得，将，带入，得借助图形思考微探究例队例图中第个图共有石子个，图中第个图共有石子个，，例或例如图，形成对角线的三角形之边与梯形之边不在同条直线上，即，这便是问题的症结所在练练设至少取丙类纸片张，新的正方形边长为，则。拼法略图的面积为，图的面积为，，矩形的长为，宽为，给出如图所示的两种拼法，代入，得设，分别表示正方形，的边长，由其相互位置可得到个线性无关独立的方程，从该方程组不难解得，，，，，，，，④个整数排成圈后，满足题意，由此展开计算推理若推得矛盾，则原假设不成立解由题意得将上述式相加，得，，与为整数矛盾，故不存在满足题设要求的个整数难解的结英国剑桥大学有位数学家真名叫道奇逊，用刘易士卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有本乱纷纷的结，书中的每章都叫做绳结，意即这些问题像绳结样复杂难解，下面就是个绳结的题目例两个步行者正在急促地以每小时千米的速度向山下走去，个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走千米在平地的时候走得多快他的同伴回答，在平路上每小时走千米年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗同伴说，这要看我们了，我们点钟出来，点钟该我们回到旅馆的时候了今天可真走了不少路年轻人说，到底走了多少路呢同伴不耐烦地说，你自己去想吧，题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个结吗解设旅行者共走过的路程为千米，上坡或下坡走过的路程为千米整个行程分为四段走平路上坡下坡再走平路开始走平路所花的时间是小时，上坡所花的时间是小时，下坡所花的时间是小时，再走平路所花的时间是小时依题意可得方程，原方程化简得，，故他们共走了千米练练已知，，则的平均数是两校男生女生人数的比分别为两校合并后男生女生人数的比是若用位整数的比近似表示合并前两校的人数的比，则这个近似比是甲乙两车从向行驶，甲比乙晚出发小时，开始时甲乙的速度比是甲出发小时后，速度提高倍，甲乙两车同时到达则甲从到共走了小时服装厂生产种定型冬装，月份销售每件冬装的利润是出厂价的每件冬装的利润出厂价成本，月份将每件冬装的出厂价调低每件冬装的成本不变，销售件数比月份增加，那么该厂月份销售这种冬装的利润总额比月份的利润总额增长甲乙丙丁四人，每三个人的平均年龄加上余下人的年龄分别为和，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是辆汽车从地匀速驶往地，如果汽车行驶的速度增加，则所用的时间减少，则的关系是如图数表各行各列及两条对角线之和彼此相等，设为求证在次数学竞赛中，组委会决定用公司赞助的款购买批奖品若以台计算器和本数学竞赛讲座书为份奖品，则可买份奖品若以台计算器和本数学竞赛讲座书为份奖品，则可买份奖品问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少甲乙二人分别从两地出发，相向而行若同时出发，经分钟相遇若乙比甲提前分钟出发，甲出发分钟与乙相遇，求甲从地到地乙从地到地各需多少分钟能遇到几艘从纽约开来的轮船这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决后来有位数学家通过构图解法，才使问题最终得以解决解用时间路程图解答④④日期日期纽约勒阿佛尔从图上可以很清楚地看到，艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的艘，因此共遇到了艘从纽约开出的轮船练练如图，甲类纸片是边长为的正方形，乙类纸片是边长为的正方形，丙类纸片是长宽分别为和的长方形，现有甲类纸片张，乙类纸片张，则应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成个新的正方形有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼个长为，宽为的矩形，则需要类卡片张，类卡片张，类卡片张，请你在图中的大矩形中画出种拼法小明在拼图时，发现个样大小的长方形如图所示，恰好可以拼成个大的长方