年的著作热的解析理论中讨论的第个问题是处理半无限矩形平板中的稳态温度分布。

在温度稳态分布情况下，傅立叶发现温度函数满足拉普拉斯方程，通过变量分离法给出了稳态热传导方程的角级数形式解，即傅里叶级数。

傅立叶在书中试图说服读者，在更般情况下，角级数形式的解同样成立，即任意函数都可以表示成为傅立叶级数形式，但关于个函数表示成傅立叶级数的充分条件及更严格的证明，在年后由狄利克雷给出地球旋转使地球形状的椭圆率发生变化。

而地球表面潮汐的高度及其形状变化又与地球刚性有关，因此汤姆森在第篇文章中的前两节就霍普金斯的结论进行了总结，并在第节说道我想到了赋予地球形状刚性时引力及弹性的相对值，令我惊讶地发现，除非地球具有非常高的刚性，否则引力在这种效应中的影响大于弹性因此很明显，除非地球的平均物质比钢更坚硬，否则它的形状必须屈服于月亮和太阳的扭曲力为了说明这个结论，我已经研究了在任意给定的扰动力的影响下均匀弹性球体所经历的形变，汤姆森关于潮汐的工作通常是指比较早期的平衡潮汐理论，由于月球吸引产生的潮汐就像围绕在地球表面的条带，它将跟随月亮绕地球旋转，其中地球被假定是由海洋覆盖且具有完全刚性的完美椭球体。

因此基于以下事实当个与地球等质量同大小的不可压缩液体球，或者个被无穷小密度的海洋覆盖着的完美刚性球体，受到潮汐力时，其表面产生的潮汐高度被称之为真正的平衡高更是从物理和数学角度讨论了地球的内部刚性。

同时，基于早期对傅立叶热的解析理论，及热力学基本原理的研究，初期汤姆森对地球年龄的估计产生了浓厚的兴趣。

基于函数及球调进行汤姆森工作历史分析自然科学史论文。

，因此在期间，拉普拉斯的物理天文思想及数学方法通过各个领域传入英国，对当时的自然哲学领域产生了深远影响，而汤姆森于年进入剑桥学习，正好处于这变革的成熟时期，无疑熟练掌握了拉普拉斯的思想及研究方法。

继拉普拉斯的天体力学之后，傅里叶的热的解析理论是第大对汤姆森产生巨大影响的著作，可以说，是傅立叶创造了汤姆森。

年，在进入剑桥之前汤姆森已经在格拉斯哥大学跟随威廉米科勒姆教授学习自然哲学年春天，天文学家约翰普林格尼科尔将傅里叶的热的解析理论推荐给了汤姆森，他仅用了两个星期便掌握了这部著作中的内容。

当物体受到给定外力或者表面牵引力的作用时，其内部会发生位移，直到物体基于函数及球调进行汤姆森工作历史分析自然科学史论文与辩证法，曲安京近现代数学史研究的条路径以拉格朗日与高斯的代数方程理论为例科学技术哲学研究，曲安京中国数学史研究范式的转换中国科技史杂志，穆蕊萍，曲安京，赵继伟关于汤姆森在球调和函数方面的工作之历史探析自然辩证法通讯，基金国家自然科学基金项目代数方程之理论的若干历史问题研究项目编号。

为了追溯傅立叶对汤姆森在球调和函数方面的影响，我们先对傅立叶的偏微分方程求解工作给予回顾。

傅立叶在年的著作热的解析理论中讨论的第个问题是处理半无限矩形平板中的稳态温度分布。

在温度稳态分布情况下，傅立叶发现温度函数满足拉普拉斯方程，通过变量分离法给出了稳态热传导方程的角级数形式解，即傅里叶级数。

傅立叶在书中试图说服读者，在更般情况下，角级数形式的解同样成立，即任意函数都可以表示成为傅立叶级数形式，但关于个函数表示成傅立叶级数的充分条件及更严格的证明，在年后由狄利克雷给出。

如此小的形变很难直接通过地质或者天文观测而获得，但它如果存在，则必然会影响到潮汐的实际现象，在此基础上，汤姆森根据球体椭圆率之间的关系及即地球为均匀不可压缩固体球，给出了不完美刚性球体表面实际观测到的潮汐高度与完美刚性假设下真正的平衡高度之间的关系，推测出地球的刚性定比玻璃大，甚至比钢的刚性还要大。

最后给出与刚性对应的实际潮汐高度的数量关系，当地球是完美刚性时，潮汐高度为英寸当地球刚性如钢或者玻璃样，高度分别为英寸或英寸。

结语汤姆森早期研究内容主要集中在地球形状，地球年龄和地球刚性等大类关于边界面为完全球面两个同轴球面椭球面以及不完全球面的物理问题，勒让德拉普拉斯的势理论傅立叶的热的解析理论为汤姆森判断地球年龄奠定了数量基础。

为了寻找适当形式的函数解，汤姆森引入了球调和函数并给出其性质，并将般函数表示成球面调和函数的级数和形式，这不仅成为拉普拉斯方程求，分别替换成，及即为这个变量同样为球调和函数。

接下来他说仍然需要说明如何确定且满足表面条件，我们假设边界面上的每点的位移分量给定近而确定完全解，结合他在文章第节所说的目前弹性平衡固体理论存在如下般问题，给定个任意形状的固体，若作用在其表面的任意外力或者边界面位移给定，则需要找出其中每个点的位移。

本文的目的是针对由各向同性弹性材料构成，并由两个同心球所构成的壳体情况，给出这问题的解，可以看出汤姆森想从两个方面寻找弹性固体发生形变时任点处位移分量的完全解，即给定物体表面位移或给定物体表面所受外力。

第种情况，当球体表面任意点处的位移分量给定，式可写成，同时求解满足边界约束条件的特解最终确定的微分形式完全解第种情况，当球体表面所受外力给定，以同样的步骤其次，给出球调和函数的另个重要性质，即拉普拉斯方程已知解的任意次微分结果仍是方程的解。

汤姆森这样描述如果函数是拉普拉斯方程的解，那么同样有，以阶的球调和函数为例，则对求阶导之后仍是拉普拉斯方程的解，也就是说，每个球调和函数解都可以用的微分来表示。

第，在此基础上汤姆森将任意球调和函数按的微分形式展开，将其中的直角坐标转换到对应的虚数坐标，并借助莱布尼兹定理，将每微分项展开再将虚数坐标转换为极坐标，得到阶完全球面调和函数的角扩张表示形式其中就是拉普拉斯系数。

同时，汤姆森借助格林定理证明了两个不同阶且不互逆的球面调和函数的正交性质。

如同在傅立叶级数表达式中的作用样，正交性是级数表达式中各项系数的重要性质。

第，有了球面调和函数的表示，将任意函数表示成球面调和函数级数和形式就不难实现了。

在附录的部分，汤姆森利用球调和函数性质，重新考虑了球面情况下的格概念的过程进行较为全面系统的研究。

那么，汤姆森为什么要寻找适当形式的球面调和函数表达式怎样建立起球调和函数解决了哪些问题这切的思想起源是什么目前有关汤姆森在球调和函数方面的工作描述，大都只是提到汤姆森曾将拉普拉斯系数称为球调和函数，未对其形成过程和相关物理应用进行讨论。

鉴于此，本文拟在研读原始文献的基础上，对这些问题进行探析，进而使我们更好地理解世纪数学物理的特征及意义。

在附录开头，汤姆森这样说道英国作家通常称之为拉普拉斯系数的数学方法，在这里称为球调和分析，其目的是以适当的形式表示两个自变量的任意周期函数，进而推导出空间中任点处的解为了解决大类物理问题。

，紧接着给出了球调和函数的定义个关于的阶齐次函数，若满足拉普拉斯方程则称之为球调和函数，其中齐次是指函数各项次数相同，解析意义如下，可以是任意正整数或负整数，或分数，或虚数汤姆森解释道上述的助手约翰佩里于年在自然上发表的文章关于地球的年龄已证明了这点。

参考文献莫里斯克莱因古今数学思想第册，石生明万伟勋孙树本等译，上海上海科学技术出版社李文林剑桥分析学派科学技术与辩证法，曲安京近现代数学史研究的条路径以拉格朗日与高斯的代数方程理论为例科学技术哲学研究，曲安京中国数学史研究范式的转换中国科技史杂志，穆蕊萍，曲安京，赵继伟关于汤姆森在球调和函数方面的工作之历史探析自然辩证法通讯，基金国家自然科学基金项目代数方程之理论的若干历史问题研究项目编号。

在附录开头，汤姆森这样说道英国作家通常称之为拉普拉斯系数的数学方法，在这里称为球调和分析，其目的是以适当的形式表示两个自变量的任意周期函数，进而推导出空间中任点处的解为了解决大类物理问题。

，紧接着给出了球调和函数的定义个关于的阶齐次函数，若满足拉普拉斯方程则质量，为球体表面单位质量处的万有引力，为球体半径，同时汤姆森借助其哥哥詹姆斯关于铁的刚性的实验数据，分别计算了当为钢或玻璃的刚性时，球体长轴与短轴之间的比例关系。

因此汤姆森在年月的文章中说道如此小的形变很难直接通过地质或者天文观测而获得，但它如果存在，则必然会影响到潮汐的实际现象，在此基础上，汤姆森根据球体椭圆率之间的关系及即地球为均匀不可压缩固体球，给出了不完美刚性球体表面实际观测到的潮汐高度与完美刚性假设下真正的平衡高度之间的关系，推测出地球的刚性定比玻璃大，甚至比钢的刚性还要大。

最后给出与刚性对应的实际潮汐高度的数量关系，当地球是完美刚性时，潮汐高度为英寸当地球刚性如钢或者玻璃样，高度分别为英寸或英寸。

结语汤姆森早期研究内容主要集中在地球形状，地球年龄和地球刚性等大类关于边界面为完全球面两个同轴球面椭球面以及不完全球面的物理问题，勒，解决本文第部分的物理问题求解弹性平衡方程判断地球刚性。

物理问题的解决在本文第节方程的基础上，汤姆森在第篇文章中借助球调和函数的相关结果，式，及，式，求得了式的般解，即，其中，即为球调和函数。

将，分别替换成，及即为这个变量同样为球调和函数。

接下来他说仍然需要说明如何确定且满足表面条件，我们假设边界面上的每点的位移分量给定近而确定完全解，结合他在文章第节所说的目前弹性平衡固体理论存在如下般问题，给定个任意形状的固体，若作用在其表面的任意外力或者边界面位移给定，则需要找出其中每个点的位移。

本文的目的是针对由各向同性弹性材料构成，并由两个同心球所构成的壳体情况，给出这问题的解，可以看出汤姆森想从两个方面寻找弹性固体发生形变时任点处位移分量的完全解，即给定物体表面位移或给定物体表面所受外力。

第种