好性质和结构都是欧式空间具备的，因为这样的空间不仅仅是大数学家希尔伯特最早研究的空间，也是最像欧式空间的无穷维空间作为欧式空间最接近的无穷维类比，学习者通过对比联想，自然更容易接受这样的抽顺遂例如，有限维的线性空间，如今看来是线性代数的基本研究对象和基本概念，但从数学概念形成的进程看，这个概念并不是线性代数发展的初期就最先形成的历史发展的顺序是先研究求解线性方程组，这导致行列式的概念，而后才有了对双线性形式和矩阵，特别是方阵的研究，最终才导致了有限维向量空间和线性映射的概念可以看出，数学发展史的演进次序往往与数学概念的逻辑顺序相反同样，现在很多泛函分析教材中，往往从开始就引入无穷维线性空间甚至还有教材是以更般的度量空间或拓扑空间开篇，这虽然可以作为数学概念出现的逻辑顺序的起点，但并非历史发展的起点依据见对泛函分析发展历史的考察，含无穷多个变量的无限多个线性内容文献研究了泛函分析中不同类型的定理在教学方法上的差别，以及在不同教学环节中需要注意的问题文献探讨了在教学课时数减少的条件下，如何精选教材优化内容以提高泛函分析课堂教学效率文献介绍了结合小波理论讲授泛函分析的探索文献介绍了针对工科研究生应用泛函分析教学积累的经验以上这些研究都对泛函分析的教材建设或教学方法改进很有帮助，但作者也注意到，国内文献较少涉及泛函分析教学中对该学科历史发展和数学物理背景的介绍，以及这些内容的讲授对教学效果的影响本文正是希望在此方面的教学改革上做些探讨学习者的主要困惑原因分析及改进措施学习者对泛函分析中出现的无穷维抽象空间的背景和实例不清楚这主要是因为国内教材普遍缺乏对探讨泛函分析课程教学创新拓扑论文它主题如原子物理核物理凝聚态物理以及基本粒子物理而研究这些物理分支的核心数学分支正是泛函分析当然，还有群表示论多复变函数论等也很重要例如，赋范空间上线性算子的谱是泛函分析的重要研究对象理论物理中对氢原子中电子能级的研究，数学上正好对应着研究类希尔伯特空间上自伴算子的谱甚至近年来对整数阶量子霍尔效应的深入研究与此相关的著名研究成果，分别是年和年等人获得诺贝尔物理学奖的工作，也用到了对薛定谔算子的谱的刻画对紧算子自伴算子算子流形上的椭圆算子拟微分算子以及理论物理研究中提出的许多重要算子的研究，依然是泛函分析当代研究的热点这门学科进步的发展还涉及非线性泛函和映射临界点理论心目中理想的无穷维欧式空间，即平方可积的函数空间，这是类最特殊的内积空间后来，匈牙利数学家于年提出了般的抽象空间理论以及著名的表示定理其实，除之外，意大利数学家最先开启了对闭区间上连续函数空间的研究法国数学家开始研究般的无穷维线性空间及其上的泛函年，的学生法国数学家的博士学位论文开启了对般抽象的距离空间的研究最后，作为集大成者，匈牙利数学家在他年完成的博士学位论文中引入了般赋范线性空间的概念在随后的十多年里，与他的合作者对赋范空间及其必须兼顾线性空间的特殊结构，即要求距离和空间上的线性运算是相容的这导致了欧式空间中向量模长的自然推广，即准范数或范数于是，赋予了范数的线性空间成为泛函分析重要的研究对象而对欧式空间中另重要的量向量夹角的自然推广，又导致了对内积空间的研究不过，泛函分析的研究主题又与非欧几何研究的弯曲抽象空间不同，空间的线性结构还是保持的与数学分析线性代数甚至非欧几何不同的是，泛函分析研究的抽象空间，即使是线性空间，还可能有新的特征，即可能是无穷维的例如，闭区间，上全体连续函数组成的线性空间，就是无穷维的实数集或有限维欧几里得空间的些良好性质，到了无穷维的抽象空间可能不再具备例如，实数集是完备的即任何基本列或摘要本文对泛函分析的主要内容及发展简史做了简单介结，与此同时，作者还对学习者在学习过程中的主要疑惑进行了分析，总结了产生疑惑的原因，并对改进现状的有关措施发表了个人意见，论述了教学中数学物理背景介绍的重要性，以期对未来教学改革有所启迪｡关键词函数教学方法数学物理泛函分析概述泛函分析主干内容回顾及发展简史作为综合大学数学方向分析学和线性代数课程的进步延续，线性泛函分析首先在研究对象上有了扩充参见等国内外著作我们知道，分析学包括数学分析实分析复分析的主要研究对象是函数，包括实变量函数和复变量函数线性代数的重要研究对象是线性空间上的线性变换与初等数学不同的是，函数极限概念的引入和计算在高等数学中，连对现代自然科学最有影响的量子力学和广义相对论可能都无所知这与当前主流数学发展对青年人才的培养要求极不相称当代数学发展的大特征就是再次受到当前物理学发展的极大影响，很多国际数学大师，如索伯列夫Гельанд陈省身Арнольд丘成桐见等，都曾极力倡议数学物理的整体性以及数学人才的成长应加强重要物理知识的学习而这样的教学改革在国内还有很大的改进空间学生的反馈教学效果分析及总结为了了解学习者对我们教学成效的反馈，我们对届名参与泛函分析教学的学生进行调查，核心的问题是，对泛函分析发展历史的介绍是否有利于该课程的学习，对典型反例的介绍是否有利于该课程的学习，对泛函分析涉及步导致产生很多后来归入泛函分析领域的基本概念，如抽象的函数空间度量空间压缩映射有界线性算子和泛函，内积空间完备性紧性可分性等对这些基本概念的提炼和严格化以及对若干基本定理的提出和证明，导致泛函分析作为门独立学科的形成而自世纪年代始，物理主要前沿之的量子理论以及相关物理分支涉及的核心数学之正是泛函分析如能在教学过程中，在对泛函分析的基本概念介绍的前后，也配合对有关的物理知识以及描述这些知识时用到的泛函分析工具稍加介绍，至少对于教学有以下助益让学习者看到抽象的理论其实有物理实在的根基，势必能大大降低这门课给以学习者的抽象感例如，经典力学中的各种作用量，就是典型的无穷维函数空间上的设数理逻辑集合论的课程加之教材中也很少提供参考文献，当学习者突然接触这样不介绍具体例子的概念，很可能会理解肤浅或有偏差即使是数学系高年级的同学，也会反映对各种新概念的理解不到位不深刻其原因是常见的泛函分析教材普遍对各种新概念的反例介绍偏少，学生不能从不同侧面加深对新学概念性质的理解这里仅举例说明反例在教学中的重要作用在介绍赋范线性空间上的线性算子时，定要讲清线性算子的有界性与连续性之间的关系，除了从正面严格推导证明者的等价性，也可以连续函数空间，上的求导算子作为反例，说明这是个既无界且不连续的线性算子实际上是闭算子我们可以分别选择简单的两个，区间上的连续可微函数序列易见序列是空间上的成果刊登的期刊文献或著作也很少引用例如，如果学习者欲查找逆算子定理的原始证明，如在教材参考文献列表中有介绍和引用，将会大大方便学习者查找学习者阅读重要数学家的原始工作和文献，直接向大师学习，永远都是应该鼓励的多些重要文献的引用对于培养数学人才也是极有帮助的数学系外选修该课的同学，普遍反映定理证明的思想方法不易理解，觉得证明过于偏重技巧性这可能是因为教材编写时没有特别注意向读者交代或点明新的知识性质以及证明方法与初等高等数学中重要数学知识的联系例如，对于任何度量空间可以完备化的证明，其基本的证明思想，就是源自利用不完备的有理数集构造完备的实数集的方法但是很多泛函分析教材中都忽略了对这些探讨泛函分析课程教学创新拓扑论文数学物理背景和应用的介绍是否有利于该课程的学习得到的反馈如下表所示通过简单分析以上数据可以看出，从学习者的角度看，教学中以上方面的加强都可以改进教学效果不过，因为抽取的学生样本有限，而且是非匿名回答，这样的数据能否如实反映学习者的感受还不明确这有待以后多年对更多学习者样本的调查并优化调查手段来进步改进总之，我们还是强烈建议同行教师，泛函分析，作为门优美同时又有深厚物理和应用背景的数学课，应该在教材编写和讲授中积极探索如何更好地介绍有关的历史背景典型例题和相关的现代物理知识，为数学物理教学改革和更全面人才的培养摸索经验赫海龙对泛函分析课程教学的若干思考大学数学，探讨泛函分析课程教学创新拓扑论文学科与教学内容设臵分类过细这种设臵在定历史时期固然有利于迅速培养些国家急需的专业人才，但也往往有其弊病，就是忽略了对人的全面培养且不说理工科学生普遍人文知识学习不足，就是在理科内部，数学和物理不同系的学生，彼此也对对方的知识知之甚少特别地，与学过不少高等数学且擅于计算的物理系学生相对比，数学系学生物理知识的缺乏尤为严重另外，从世界范围看，源自法国数学布尔巴基学派的数学形式化运动，也对数学走向故步自封并与自然科学研究脱节起到了推波助澜的作用这两种影响在我国的叠加，使得多年来我们培养的数学人才知识面狭窄，特别是缺乏对现代物理发展前沿的了解大部分的高校数学系学生仅仅能在大学物理这门课里接触有限的经典物理知者尽早站在了这门课学习的制高点对于未修过常微分方程实变函数复变函数的学习者，有相当的困难理解泛函分析教材中出现的很多例子这主要是因为些教材编写时，或没有考虑到教材要具有足够的自容性例如，教材如等中经常出现的完备度量空间上的压缩映像原理，以及作为应用的例子，用此原理证明常微分方程初值问题解的存在唯性对于未学过常微分方程的学习者，无法完全理解这样的例子本来泛函分析教材的编写者用心良苦，希望借此例子让学习者了解此重要原理在数学其它分支有广泛的应用但是，教材编写者似乎总是默认了其编写的书仅仅只是配合综合大学数学系的教学进度，而没有意识到或忽略了数学书籍，作为全人类文明的成果，面向更广大学习者特别函描述量子态的数学对象正