分别表示和的最大公因式和结式用表示方阵的特征多项式表示的最小多项式。

定义设∈，∈矩阵方程的可解性及其多项式解研究代数论文∈。

线性变换称为关于矩阵和的算子。

分别是与矩阵和可交换的线性变换。

令，则由定义可知。

定义称，∈，为矩阵和的或中心化子空间。

矩阵方程的可解性可解性判定设有−−成立。

证明在中，由于和分别是与和可交换的线性变换，所以仅需使用项式公式即可得证。

略引理记号同前，引入以下引理引理设∈，∈。

下列陈述等价算子，是同构的在中，和无公共。

通过简单计算可以推出，−。

最后，由推论即得所求结果。

定理设∈，∈，是关于矩阵和的算子。

于是，对任意的∈，下列结果成立，其中为证明由引理即可得证。

因故存在，∈，使得。

取，容易验证，。

于是。

由推论可得，∈，。

推论设∈，∈，∈，。

若且性判定，并介绍求其多项式解的般形式的种新方法。

证明因ηξ，故有ηξ。

在上述的表达式中，用代替，ξ代替后即可推出结果。

推论设∈是次多项式，∈，∈，是关于和的算子。

于是−−时，即称为矩阵方程。

在控制论信号处理神经网络模型降阶图像恢复等领域经常会涉及到矩阵方程的数值求解问题。

关于矩阵方程的求解和数值计算，目前已有很多讨论。

例如，文献讨论了矩阵方程的公共解，征向量。

为深入讨论，利用算子研究了矩阵方程在任意域上的可解性，得到其有唯解当且仅当和的特征多项式无公共素因式的结论。

在矩阵方程有解的情况下，给出了其多项式解。

关键词矩阵方程算子中，∈，是关于和的算子。

于是−−证明因，而，分别是与和可交换的线性变换，故由定理即可得证。

定理设∈，∈，是关于和的算子。

若矩阵矩阵方程的可解性及其多项式解研究代数论文证明因，而，分别是与和可交换的线性变换，故由定理即可得证。

定理设∈，∈，是关于和的算子。

若矩阵和的特征多项式无公共的素因式，则是个同构。

存在次多项式∈，使得−−存在条件及其通解形式文献给出了矩阵方程的种基于梯度的迭代算法文献改进了传统的梯度迭代法，给出了求解矩阵方程的松弛梯度迭代法，有效地提高了收敛速度。

本文利用算子的性质，给出了矩阵方程在任意域上的可解∈，。

推论设∈，∈，∈，。

若且则存在次多项式∈，使得−⋅，其中−−−−，是的矩阵多项式。

证明因为⇔，所以⇔给出了其无公共解的个充要条件文献利用标准形和最小多项式理论，讨论了矩阵方程有非零解的充要条件，并得到其非零解空间的维数定理文献利用元数矩阵的实分解和循环矩阵的特定结构，借助积，得到了元数体上矩阵方程循环解的心化子空间代数公共素因式多项式解设是个域，用，表示域上的全体矩阵环。

令∈，∈，∈，。

方程称为矩阵方程，其中∈，。

在式中，当时，即称为对应于式的齐次矩阵方程特别地，当和的特征多项式无公共的素因式，则是个同构。

存在次多项式∈，使得−−。

矩阵方程的可解性及其多项式解研究代数论文。

摘要众所周知，代数闭域上的矩阵方程有唯解当且仅当矩阵和矩阵无公共特。

由定理可知，存在次多项式∈，使得−。

通过简单计算可以推出，−。

最后，由推论即得所求结果。

证明因ηξ，故有ηξ。

在上述的表达式中，用代替，ξ代替后即可推出结果。

推论设∈是次多项式，∈矩阵方程的可解性及其多项式解研究代数论文，≠。

矩阵方程的可解性及其多项式解研究代数论文。

证明由引理即可得证。

因故存在，∈，使得。

取，容易验证，。

于是。

由推论可得，别有成立，所以定理正确。

推论设∈，∈，是关于矩阵和的算子。

于是，对∀∈ℕ和∀∈有−−成立。

证明在中，由。

线性变换称为关于矩阵和的算子。

分别是与矩阵和可交换的线性变换。

令，则由定义可知。

定义称，∈，为矩阵和的或中心化子空间。

矩阵方程的可解性及其多项式解研究代是个代数闭域，∈，∈。

用表示矩阵的所有特征值集合谱。

文献指出⇔∩∅。

下面，将此结论推广到任意域上，即定理矩阵方程有唯解⇔和无公共的素因式。

证明首先，式有唯解⇔关于和的算子同构，。

然后的素因式和的结式，≠和的结式，≠。

算子设是任意个域，多项式，∈。

用，和，分别表示和的最大公因式和结式用表示方阵的特征多项式表示的最小多项式。

定义设∈，任意自然数，∈，。

证明对自然数和矩阵∈分别有成立，所以定理正确。

推论设∈，∈，是关于矩阵和的算子。

于是，对∀∈ℕ和∀∈则存在次多项式∈，使得−⋅，其中−−−−，是的矩阵多项式。

证明因为⇔，所以⇔。

由定理可知，存在次多项式∈，使得−