阵,使得同理，定可以找到个正交矩阵，使得，从而有将上面两边分别左乘右乘，得，由于,，有，所以，可逆又由于,所以，是正交矩阵，故，相似且合同定理若阶矩阵，中有个是正交矩阵，则与相似且合同证明不妨设是正交矩阵，则可逆，取,所以，与相似，由于与正交相似，故与合同定理若与相似且合同，与相似且合同，则与相似且合同证明因为，相似相似，故存在可逆矩阵使得,,令,则，且故与相似又因为与，与分别合同，故存在可逆矩阵使得,令，则而故与合同从上面这个定理我们可以得到，若与，与分别正交相似，则与相似且合同矩阵的若尔当标准形最后指出，除了实对称矩阵，对于般矩阵，并不是所有的矩阵在数域中都有相似的对角形矩阵，也就是说并不是对于每个线性变换都有组基，使它在这组基下的矩阵为对角形矩阵甚至对于同个实数矩阵，在个数域里有与其相似的对角矩阵，而在另个数域里就没有与其相似的对角形矩阵为此，我们引入若尔当标准形，进而探讨在数域里，任矩阵在组基下可以化成与之相似的矩阵的最简形式根据矩阵的理论推导，容易算出若尔当块的初等因子为设是个若尔当形矩阵，其中显然的全部初等因子是,，换句话说，每个若尔当形矩阵的所有初等因子就是由它的所有若尔当块的初等因子构成的由此可见，若尔当形矩阵除去其中的若尔当块的排列次序外是被它的初等因子唯决定的，由此我们可以得到定理每个级的复数矩阵都与个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被矩阵唯确定的，它称为的若尔当标准形这个定理的证明，需要用到矩阵的理论推导，在这里就不再详细叙述了，但是我们依然可以利用矩阵的特征多项式及特征值来求出与矩阵相似的若尔当标准形例求矩阵的若尔当标准形解先求出的特征值，由得的特征值为三重和重那么由，可以求出它的个解为,，再由，可以求出它的个解为,，再由，可以求出它的个解为,，由，可以求得它的个解为,，将,并列成个矩阵，显然有这时令,显然有▍参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数北京高等教育出版社，张贤科，许甫华高等代数学北京清华大学出版社，万哲先代数导引北京科学出版社，史秀英定理的应用赤峰学院学报自然科学版王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程北京高等教育出版社，,王新民，孙霞，张景晓矩阵的特征值与特征向量及其相似对角形的统求法大学数学张俊祖，姜根明，冯复科矩阵指数函数的种计算长安大学学院学报自然科学版，张禾瑞，郝鈵新高等代数北京高等教育出版社，，致谢，从而▌矩阵矩阵指数及基解矩阵阵指数可以使用多种的多项式来表示，除了哈密顿凯莱定理推论的方法，在这里介绍种比较简单的表示方法，而且要具体求出这种表示方法，就需要借助求出的特征多项式以及特征值来计算为了说明这个问题，我们可以从简单的情况开始，先了解下矩阵指数如果是个阶常数矩阵，我们定义矩阵指数为下面的矩阵级数的和，其中为阶单位矩阵，是矩阵的次幂这里我们规定这个级数对于所有的都是收敛的，因而是个确定的矩阵特别地，对于所有元素均为的零矩阵，有很容易得到，矩阵指数有以下性质，具体可见参考文献如果矩阵,是可交换的，即，则对于任何矩阵，存在，且如果是非奇异矩阵，则在了解矩阵指数之后，我们现在来讨论矩阵指数，这个矩阵指数在讨论齐次线性微分方程组的基解矩阵的结构有着非常重要的运用这里是阶常数矩阵，因为我们有如下定理定理矩阵是线性微分方程组的基解矩阵，并且该定理是常微分方程里个主要的定理，很容易证明，那么对于任意个线性微分方程组，我们如何求其基解矩阵这里就可以运用到矩阵的特征多项式及其特征值首先，我们来讨论当具有个线性无关的特征向量时特别当具有个不同的特征值时，微分方程组的基解矩阵的计算方法定理如果矩阵具有个线性无关的特征向量它们对应的特征值分别为,，那么矩阵就是常系数线性微分方程组的个基解矩阵证明显然，每个向量函数都是常系数线性微分方程组的个解因此，矩阵是常系数线性微分方程组的个解矩阵因为向量,是线性无关的，所以，进而推出是线性微分方程组的个基解矩阵定理证毕▍例试求常系数线性微分方程组，其中的个基解矩阵解的特征方程为，从而得到的特征值为,，对应于特征值的特征向量为，对应于特征值的特征向量为那么根据上述定理，矩阵就是该微分方程组的个基解矩阵▍现在进步讨论当时任意的矩阵时，线性微分方程组的基解矩阵的计算方法由于这是常微分方程里的理论，且较为繁琐，在这里就不再给出详细的证明，但给出当只有个特征值时个重要的公式，然后通过简单的例子来说明矩阵的特征多项式及特征值在求其基解矩阵中的重要作用当只有个特征值时，由矩阵指数的矩阵指数定义，我们得到,例试求常系数线性微分方程组中矩阵的矩阵指数其中解的特征方程为，因此的特征值为二重，从而利用公式即得例如果，试求解的特征方程为，因此的特征值为重，直接计算可得从而利用公式即得,这样来,