明皆是可测集数学与信息科学学院届学士学位毕业论文证明由推论存在可测集，使得，，且，因为，，所以，皆可测，且，所以，，，同理由例，，因为，所以取为基本集，，所以，所以可测同理也可测作为可测集与集之间关系的应用，再给出乘积空间测度的计算公式定理设分别为和中的可测集，记，则为中的可测集，且证明证明分两步先证当，均有界时，结论成立当，都是区间时，由区间的体积公式知结论成立当，都是开集时，由开集的结构知，，其中，分别为和中两两不交的区间于是，，其中为中两两不交的区间所以是可测集，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文当，都是集时，则，，其中为有界开集，且单调递减也为有界开集，且单调递减于是为可测集，其中也单调递减，所以当，至少有个为零测集时，不妨设，由定理存在集，使，且，，于是由得而，所以当，均有界可测集时，由定理存在集，使，且，，，，记，，则，，，从而，再由得为可测集，且二再证当，至少有个无界时，结论成立由于，分别都可表示成列互不相交的有界可测集的并集，即，，其中，都是有界可测集，而，，其中互不相交，故由知为可测集，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文参考文献李国祯实分析与泛函分析引论北京科学出版社，郑维行，王声望实变函数与泛函分析概要高等教育出版社，郭大钧实变函数论与泛函分析山东大学出版社，曹广福实变函数论与泛函分析上册第二版北京高等教育出版社，姚奎，梁永顺实变函数论与泛函分析学习指导合肥中国科学技术大学出版社，孙华清，孙昊实变函数内容方法与技巧武汉华中科技大学出版社，郭懋正实变函数论与泛函分析北京北京大学出版社，陈建功实函数论北京科学出版社Ⅰ，夏道行实变函数论与泛函分析概要上海科学技术出版社，周明强实变函数论北京北京大学出版社，致谢在写这篇论文的过程中，感谢涂金老师的悉心指导，让我能顺利完成写作，是可测的定理证毕从式可以推出定理设是互不相交的可测集序列，则对任意，有例设是互不相交的可测集，，，证明证明由定理，可测，对任意，有，取，所以，由定理知数学与信息科学学院届学士学位毕业论文证毕单调的可测集序列定理设是可测集序列，且，则也是可测的，且证明因为，故可测若存在，使，则式显然成立现设，由的单调性及可测性，与均可测且不相交，所以有，由于，所以，令，则再应用测度的可数可加性，有例设是列可测集，证明证明先将求集合序列下限集的运算转化为求单调集列极限的运算，然后利用测度的性质进行必要的讨论数学与信息科学学院届学士学位毕业论文由于，记，这样的是单调增加的，且，所以，，对后式两边取下限，注意到左边实际上存在极限，故有综上所述得定理设是可测集序列，且，则也是可测的又设，则证明由的单调性知，且是递减数列，故存在因为，所以是递增可测集序列由定理，有，由于，故上式可以写为即得欲证例设是列可测集，是自然数，，证明证明由于，记，这样的是单调减少集列，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文由题设知，时，，所以证毕注从以上各定理可知，点集的可测性关于可数并可数交差余和极限运算是封闭的，有了这些性质，我们可以从已知的可测集去发现和构造更多的可测集，由些可测集去研究另外的可测集可测集类及可测集的构成可测集类在上节中，给出了中可测集的定义，并且知道了可测集的些性质，但是除了零测集外，我们还不知道哪些具体也是可测的由集的定义知任何集也是可测的注从定理可知，许多常见的集合都是可测的，比可求面积的中或可求体积的中的范围扩充了许多但是上述的定理并不意味着每个可测集都是开集闭集或集事实上，存在非集的可测集可测集与集的关系定理设则存在，型集，使，且证明由外测度的定义知，对任意自然数，存在列开区间，使，且，记显然为型集，且，所以，让得，证毕数学与信息科学学院届学士学位毕业论文定理设，则下列关系等价为可测集对任意存在开集，使且存在型集，使，且，证明当，则由外测集的定义知对，存在列开区间，使且，，记，显然为开集，，且，所以，而，从而，当时，必为无界集，但它总可表示成可数个互不相交的有界可测集的并即对每个应用上面结果，存在开集，使记且，显然为开集，，且，从而取，，由知，存在开集使且记，显然，为型集，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文，所以，让得，从而由知存在型集，使，且，，而，故是可测集注此定理表明任意可测集总可表示