市学院学报自然科学版许晓虹第五公设的背景及其对数学发展的意义河北职业技术学院学报张影非欧几何中极限三角形面积有限性的简单证明扬州大学学报自然科学版徐天长非欧几何与几何基础之间的联系安庆师范学院学报自然科学版致谢在我毕业论文开题调查研究和撰写过程中，杨孝斌教授给予了我耐心细致和全面的帮助此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的，特别是在导出个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性是否具有排中性对数学科研者勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，个人经得住时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗罗巴切夫斯基的新学说，违背了多年来的传统思想，动摇了欧氏几何神圣不可侵犯的权威基础，同时也违背了人们的常识他的学说发表，社会上的嘲弄攻击，甚至侮辱谩骂，暴雨般地袭来科学院拒绝接受他的论文大主教宣布他的学说是邪说大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是伪科学，是场笑话即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着对个的怪人的宽容和惋惜态度连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德同诗人歌德，在他的名著浮土德中写下了这样的诗句有几何兮，名日非欧，自己嘲笑，莫名其妙面对种种攻击嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出个科学家追求科学需要的特殊勇敢罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗生从年发表了非欧几何体系后，又陆续版了关于几何原本等本著作在他逝世前，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄法种文字写成他的名著泛几何学罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士同样，名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别那些尚未成熟或现实意义尚未露川来的科学成果数学的发展决不是帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的我们每位科学作者，既应当作名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，义应当成为个科学领域中新生事物的坚定支持者正确对待数学领域里的成就数学是门历史性或者说积累性很强的学科重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广因此，有的数学史家认为在大多数的学科里，代人的建筑为下代人所拆毁，个人的创造被下个人所破坏惟独数学，每代人都在古老的大厦上添加层楼克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从世纪非欧几何由潜到显转变的多的历史过程时指任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，些决定性步骤或证明可以归功于个人这种数学积累特别适用于非欧几何事实上，自从几何原本以后到世纪，第五公设问题就像块磁石样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗这就形成了个在科学史上时间跨度最长成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法可能根本就不存在第五公设的证明于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现个新的几何世界的也可以说，罗氏几何的现应归功与萨凯里兰伯特等对第五公设的研究在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少对此，数来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。我们知道，罗氏几何除了个平行公理之外采用了欧式几何的切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明黎曼几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理顺序公理连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不样。欧式几何讲过直线外点有且只有条直线与已知直线平行。罗氏几何讲过直线外点至少存在两条直线和已知直线平行。那么是否存在这样的几何过直线外点，不能做直线和已知直线平行黎曼几何就回答了这个问题。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在年所作的篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另种几何学的存在，开创了几何学的片新的广阔领域。黎曼几何中的条基本规定是在同平面内任何两条直线都有公共点交点。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另条公设讲直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是个经过适当改进的球面。近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。此外，黎曼几何在数学中也是个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程变分法和复变函数论等方面。公设的不同同直线的垂线和斜线相交。垂直于同直线的两条直线互相平行。存在相似的多边形。过不在同直线上的三点可以做且仅能做个圆。罗氏几何同直线的垂线和斜线不定相交。垂直于同直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。不存在相似的多边形。过不在同直线上的三点，不定能做个圆。从上面所列举得罗氏几何的些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作个直观模型来解释罗氏几何是正确的。年，意大利数学家贝特拉米发表了篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面例如拟球曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以翻译成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和致赞美，他本人则被人们赞誉为几何学中的哥白尼。三种几何的关系欧氏几何罗氏几何黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际在地球表面研究航海航空等实际问题中，黎曼几何更准确些。参考文献朱德祥编高等几何，北京科研者应团结，相互进行交流用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁对数学教师和数学学习者在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确严密，所有概念都应当完全清晰因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷后来他确实编写了本几何教科书几何学教程他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导来的，在学生中交流修改和完善的我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是个数学教育家取得伟大突破的成功范例正如数学史家鲍尔加斯指出的罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学，这是促使他改革新几何的重要原因他对教学法的探讨，获得了色的开创几何学发展新阶段的作为人类研究和征服周世界嗣新方法的科学结论所以作为名世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识教学中引导学生广开思路，重视发散思维教师要精选些典型问题，鼓励学生标新立异大胆猜想探索，培养学生的创新意识在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给Ⅲ第五公设的证明在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在学年度几何教学中给出的几个证明但他很快就意识到证明是的前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法可能根本就不存在第五公设的证明于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现个新的几何世界的学起于思，思源于疑，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展教师不仅要善于设问，还要激发学生质疑问难教学中，要鼓励学生在学习过程中碰到的问题提出来并和同学讨论，让学生存在个充分表现的机会先对不同问题提供同思路来解决，之后提出个别条件的变化，要求用新的思路解决，以打破原来的思维定势，使思维灵活而富有创造性非欧几何的历史对高校学生学习数学的意义高校学生可通过对数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生发展的必然规律了解人类从数学的角度认识客观世界的过程发展求知求实勇于探索的情感和态度体会数学的系统性严密性应用的广泛性，了解数学真理的相对性提高学习数学的兴趣从欧氏第五公设到非欧几何的诞生和发展过程曲折而又艰辛，而数学家们也为之付出了巨大的努力它对现今和以后的数学学习者有着深远而又积极的意义和影响知识的学习和研究永无止境，只有通过不断的创新和探索，才有新的知识的