间,上存在唯，其中类似于阶微分方程的初值问题的存在唯性定理的证明，下面来简单证明下定理引理如果函数,在三维空间的区域,上连续，则初值问题的解,与积分方程,在区间,上的连续解等价，其中,,由引理我们知道，要证明定理，只要证明积分方程的连续解在区间,上存在唯就行了。

存在性的证明下面用毕卡逐次逼近法来证明积分方程的连续解的存在性，可分三个步骤进行。

构造区间上的逐次近似的连续向量函数列令，构造毕卡逐次逼近向量函数序列如下,向量函数称为的第次近似解。

用数学归纳法可以证明,即曲线未越出区域，保证了逐次逼近可以直进行下去。

证明函数序列在区间上致收敛。

考虑向量函数项级数它的部分和是所以，要说明函数序列在区间上致收敛，只需证明级数在区间上致收敛。

,，,由数学归纳法，我们可以得到,而,易于看出级数每项的绝对值都不会超过正项级数的对应项。

上面的级数显然是收敛的。

从而，级数在区间上致收敛。

设其和函数为，从而函数序列在区间上致收敛于。

由于在区间上是连续的，因而也是连续的。

证明是积分方程的解。

对,两边取极限，得,要证是积分方程的解，只需证在区间上致收敛,使时，有则是积分方程的解。

唯性的证明证设也是积分方程的解，且满足则有于是程阜阳师范学院学报自然科学版石正华浅谈二阶变系数齐次微分方程的求解问题南昌教育学院学报李录苹,王通关于几类二阶微分方程的解法雁北师范学报李永利,桑改莲类二阶变系数齐次微分方程通解的求法高等数学研究胡劲松等种二阶变系数线性微分方程的求解方法重庆工商大学学报自然科学版陈湘对常系数非齐次线性微分方程的种讲授法高等数学研究李中平用观察法求二阶变系数齐线性方程的非零特解高等数学研究,,,,,由不等式得,得出矛盾。

因此，在的解唯。

综上，的存在唯性定理得证。

应用举例关于二阶线性齐次方程解的零点例已知方程在,上连续，如果是非零解的个零点，则存在的个邻域，使得在该邻域内只有个零点。

证反证法假设在,内存在无限个点，使，且当时，又连续，则是方程的解，存在，且即满足,，根据定理，知，与是非零解矛盾，假设，从而命题得证。

二阶线性非齐次方程的边值问题例设在,上连续，是证明方程满足条件的解唯的充要条件是方程只有零解满足条件证设,是方程的两个线性无关的解，是的个特解，则的通解为的通解为将初值条件代入到中，得则满足初值条件的解唯等价于有唯解也等价于设是的满足初值条件的解。

将初值条件代入到中，得当且仅当时，只有零解，即，则，显然命题得证。

结论关于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯性定理等方面卓有成效。

二阶微分方程的解的存在唯性定理不仅可判断解的存在唯性，而且还有着广泛的应用。

而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在个区间是否收敛等。

另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有些特殊类型是可以求解的，还有待于进步的发展和研究。

致谢首先，我要感谢我的指导老师侯长顺老师。

侯老师平时还要给学生上课,工作很忙，但还是帮我们查找与论文相关的资料，来供我们参考在做论文的过程中，帮助我解决各个问题和困难，并在论文修改时提出很多的意见和建议，论文能如期完成，是与侯老师的指导分不开的。

然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下数学专业知识的基础同时还要感谢我身边的同学,谢谢你们的支持和鼓励，才使这次毕业论文顺利完成。

最后，在毕业来临之际，祝河南工业大学更加辉煌。

参考文献朱思铭，王寿松，王高雄等常微分方程北京高等教育出版社,丁同仁常微分方程教程北京高等教育出版社，朱乃明，李虹莉常微分方程重庆西南师范大学出版社,都长清，焦宝聪，焦炳照常微分方程北京首都师范大学出版社，黄启昌常微分方程北京高等教育出版社，王克，潘家齐常微分方程学习指导书北京高等教育出版社，田巍，李奇二阶常系数非齐次线性微分方程特解的特征根公式法高师理科学刊刘培进二阶常系数线性非齐次微分方程的公式解法山东师范大学学报自然科学版,孙梅娟,倪致祥可线性常系数化的二阶常微分方将阶的些方程类型方程不显含未知函数和未知函数的阶导数，即若令,那么，则方程即降为关于的阶微分方程，两边积分得，两边再次积分，就能得到方程的通解方程不显含未知函数,即,若令，则方程就变为,，这是个关于,的阶微分方程方程不显含自变量，即,若令，那么则方程就变为,这是个关于,的阶微分方程恰当导数方程型二阶微分方程也可以表示成,的形式。

若方程,的左端恰为函数对的全导数，即,则称方程为恰当导数方程。

于是，方程可写成则有，为任意常数这样就把原方程降为了阶微分方程。

关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程,关于未知函数及