时，得特征向量。将它们单位化得。则所求正交矩阵为。矩阵对角化在常微分中的应用由于微分方程组中每方程都包含若干个变量，直接求解不方便如果利用矩阵可对角化的理论，问题的求解就容易得多。例解微分方程组解令，，则微分方程组可表示为，可求得的特征值为，对应重特征值有个线性无关的特征向量，又对应的特征向量为故可对角化。令则∧。令，其中，则易验证。带入，得，即写成分量形式为解得为任意实数故由，得为任意实数。此外，根据矩阵是的基解矩阵，且，利用对角矩阵可以较容易的解决些求基解矩阵的问题。例试求的基解矩阵。解因为，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到但是，所以级数只有两项。因此，基解矩阵就是。例如果，试求。解这里，是的重特征值，直接计算可得。因此，利用公式可得，这样来对角矩阵在实际生活中的应用对角矩阵在实际生活中有着广泛的应用，这里只是略微谈下。例实验性生产线每年月份进行熟练工与非熟练工的统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第年月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。求与的关系式并写成矩阵形式验证，是的两个线性无关的特征向量，并写出相应的特征值当时，求。解由题设可列出与的关系式化简得，于是。令，则由≠知,线性无关。因为，故为的特征向量，且相应的特征值为又因为，故为的特征向量，且相应的特征值为。由，有。于是，又，故因此。参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数北京高等教育出版社，张禾瑞高等代数第五版北京高等教育出版社，钱吉林高等代数题解精粹北京中央民族大学出版社，徐仲，陆全高等代数考研教案西安西北工业大学出版社，,大于零的对角矩阵合同可以证明些有关正定矩阵的问题。例已知,均为阶实对称正定阵，且有，试证也是正定矩阵。证∈，是阶实对称阵。可以证明存在同个实可逆阵，使，。事实上，存在正交阵，使，其中是单位阵,互不相同。有得于是,其中与是同阶方阵，由，可得从而存在正交阵，使,都是对角阵，再令那么是正交阵，且令，则为对角阵。也为对角阵，从而得证式成立。由于,正定，所以,进而是正定阵。例设,都是阶正定矩阵，证明如果正定，则也是正定矩阵。证有为正定矩阵，则有可逆阵，使，显然为对称阵，则存在正交阵使，其中，为的特征值。令，则,由正定可逆知为正定矩阵，所以，全大于零。由且正定知，全小于。由，，所以，故。由于,故合同于个对角线元素都大于零的对角矩阵，即也是正定矩阵。例设为级实对称矩阵，则存在实数，使得为正定矩阵，这里为单位矩阵。设,均为级正定矩阵,为的个特征值,为的个特征值。证明若对于任意的均有,则为正定矩阵。证因为为实对称矩阵，所以也为实对称矩阵，为任意值。令的特征值为,只需实数使,即有的特征值为,,。,,全部大于零，故存在实数，使得为正定矩阵。令,,则由于对于任意的均有,那么由于实数的稠密性知存在使,到基的过渡矩阵为由此可得，。故经计算得当为偶数时，当为奇数时，。例设