可约多项式，则存在的扩域，使得包含的全部根若为的代数扩张，则中每个元素都是的代数元，从而是中个不可约多项式的根。

定义设是的代数扩张，是中首项系数为的多项式如果满足在中能够分解成次因式的乘积，即，即是添加得到的有限扩张。

则称是在上的分裂域。

由分裂域的定义知，在上的分裂域实质上是包含全部根的最小扩域对每个素数和每个正整数，都存在个元有限域，并且元有限域都同构于在上的分裂域。

设，在有限域上的极小多项式定义为上以为根的首项系数为且次数最低的多项式，记之为。

般而言，若是上的代数元，则的极小多项式定是中的不可约多项式有限域的乘法群的生成元称为的本原元，而以本原元为根的极小多项式称为的本原多项式。

若是中次不可约多项式，则包含的全部根特别地，如果为在中根，则在中的个不同根为，称这些根为的共轭根。

定义设，若≠，则的阶定义为满足的最小正整数，记为若，则存在∈，使得，其中≠，这时的阶定义为的阶。

多项式的阶也称为的周期或的指数，也记为。

定理设为次不可约多项式，则等于的任意个根在中的阶。

推论若为次不可约多项式，则。

有限域上的迹函数理论定义设有限域是有限域的次扩张，则对任意的，定义到的迹函数如下迹函数具有下列性质对任意对任意，对任意，，对任意，对任意，方程在中解数恰为对任意，，其中。

由性质知，迹函数是从有限域到它的个子域上的线性映射进步，它还可以描述出所有从到上的线性变换，并且与选择的基无关。

般情况下，有限域到它的子域的迹函数可以记为，在不至于混淆的情况下也可以记为。

定理设是有限域，是的个有限扩张，可看作是上的向量空间，则从到的线性变换可表示为，，其中，。

进步地，如果，∈，≠，则有。

定理设是有限域，是的个有限扩张，则对，当且仅当存在∈，使得。

定理设是素数，为次单位根，表示到的迹函数，则对于，有定理对于求解序列的互相关函数起着至关重要的影响，目前大多数的序列能够求出其互相关函数都归功于这个引理。

设是有限域的有限扩张是在的组基，则对于任元素ξ∈有唯的表示其中，，且由ξ唯确定从而，是到的线性变换，根据定理，存在使得对所有ξ∈都成立，令，则当时，当时，若对等式，两边同时乘以，再取迹函数便可得信息的带宽是相比拟的。

如用调幅信号来传送语音信息，其带宽为语音信息带宽的两倍电视广播射频信号带宽也只是其视频信号带宽的倍多。

这些都属于窄带通信般的调频信号，或脉冲编码调制信号，它们的带宽与信息带宽之比也只有几到十几。

扩展频谱通信信号带宽与信息带宽之比则高达到，属于宽带通信。

采用扩频码序列调制的方式来展宽信号频谱我们知道，在时间上有限的信号，其频谱是无限的。

例如很窄的脉冲信号，其频谱则很宽。

信号的频带宽度与其持续时间近似成反比。

微秒的脉冲的带宽约为。

因此，如果用限窄的脉冲序列被所传信息调制，则可产生很宽频带的信号。

如下面介绍的直接序列扩频系统就是采用这种方法获得扩频信号。

这种很窄的脉冲码序列，其码速率是很高的，称为扩频码序列。

这里需要说明的点是所采用的扩频码序列与所传信息数据是无关的，也就是说它与般的正弦载波信号样，丝毫不影响信息传输的透明性。

扩频码序列仅仅起扩展信号频谱的作用。

在接收端用相关序列来解扩正如在般的窄带通信中，已调信号在接收端都要进行解调来恢复所传的信息。

在扩频通信中接收端则用与发送端相同的扩频码序列与收到的扩频信号进行相关解调，恢复所传的信息。

换句话说，这种相关解调起到解扩的作用。

即把扩展以后的信号又恢复成原来所传的信息。

这种在发送端把窄带信息扩展成宽带信号，而在接收端又将其解扩成窄带信息的处理过程，会带来系列好处。

弄清楚扩频和解扩处理过程的机制，是理解扩频通信本质的关键所在。

扩频通信的理论基础香农公式对于加性高斯噪声的连续信道，其信道容量与信道传输带宽及信噪比之间的关系为说明在保持最大的无误信息传输速率不变的条件下，信噪比和带宽之间具有互换关系。

即可用扩展信号频谱作为代价，换取用很低信噪比传信号。

扩频技术的工作方式扩展频谱的方式主要有直接序列扩频，跳频扩频，跳时扩频以及它们之间的混合扩频。

下面简单介绍下这几种扩频直接序列扩谱它通常用段伪随机序列又称为伪码表示个信息码元，对载波进行调制。

伪码的个单元称为个码片。

由于码片的速率远高于信息码元的速率，所以已调信号的频谱得到扩展。

跳频扩谱它使发射机的载频在个信息码元的时间内，按照预定的规律，离散地快速跳变，从而达到扩谱的目的。

载频跳变的规律般也是由伪码控制的。

线性调频载频在个信息码元时间内在个宽的频段中线性地变化，从而使信号带宽得到扩展。

由于此线性调频信号若工作在低频范围，则它听起来像鸟声，故又称鸟声调制。

下面以直接序列扩谱系统为例介绍伪随机序列在扩频通信中应用的原理用组伪码代表信息码元去调制载波。

最常用的是。

这种信号的典型功率谱密度曲线示于下图中。

图直扩系统信号的典型功率谱密度曲线图中所示主瓣带宽零点至零点是伪码时钟速率的两倍。

每个旁瓣的带宽等于。

例如，若所用码片的速率为，则主瓣带宽将为，每个旁瓣宽为。

图扩频通信物理调制器简化方框图先将两路编码序列模相加，然后再去进行反相键控。

图扩频通信调制原理图接收图解图扩频通信脉冲波形图扩频技术的特点由于扩频通信能大大扩展信号的频谱，发射端用扩频码序列进行扩频调制，以及在接收端用相关解调技术，使其具有许多窄带通信难于替代的优良性能，能在军转民后，迅速推广到各种公用和专用通信网络之中，主要有以下几项特点易于重复使用频率，提高了无线频谱利用率无线频谱十分宝贵，虽然从长波到微波都得到了开发利用，仍然满足不了社会的需求。

在窄带通信中，主要依靠波道划分来防止信道之间发生干扰。

为此，世界各国都设立了频率管理机构，用户只能使用申请获准的频率。

扩频通信发送声背景中，易于在同地区重复使用同频率，也可与现今各种窄道通信共享同频率资源。

抗干扰性强，误码率低扩频通信在空间传输时所占有的带宽相对较宽，而接收端又采用相关检测的办法来解扩，使有用宽带信息信号恢复成窄带信号，而把非所需信号扩展成宽带信码伪码序列发送序列发送载波相位混频用本振相位中频相位解调信号干扰信号相位混频后干扰信号相位。

信号，然后通过窄带滤波技术提取有用的信号。

这样，对于各种干扰信号，因其在接收端的非相关性，解扩后窄带信号中只有很微弱的成份，信噪比很高，因此抗干扰性强。

对于宽带干扰和脉冲干扰在扩频设备中如何被抑制的物理过程，可以用图和加以说明。

对于各种形式人为的如电子对抗中干扰或其他窄带或宽带扩频系统的干扰，只要波形时间和码元稍有差异，解扩后仍然保持其宽带性，而有用信号将被压缩，如图所示图扩频系统抗宽带干扰能力示意图对于脉冲干扰，带宽将被展宽到，有用信号恢复压缩后，保证高于干扰。

见图所示扩频系统这优良性能，误码率很低，正常条件下可低到，最差条件下约，完全能满足国内相关系统对通道传输质量的要求。

图扩频系统抗脉冲干扰能力示意图隐蔽性好，对各种窄带通信系统的干扰很小由于扩频信号在相对较宽的频带上被扩展了，单位频带内的功率很小，信号湮没在噪声里，般不容易被发现，而想进步检测信号的参数如伪随机编码序列就更加困难，因此它的隐蔽性好。

再者，由于扩频信号具有很低的功率谱密度，它对目前使用的各种窄带通信系统的干扰很小。

可以实现码分多址扩频通信提高了抗干扰性能，但付出了占用频带宽的代价。

如果让许多用户共用这宽频带，则可大为提高频带的利用率。

由于在扩频通信中存在扩频码序列的扩频调制，充分利用各种不同码型的扩频码序列之间优良的自相关特性和互相关特性，在接收端利用相关检测技术进行解扩，则在分配给不同用户码型的情况下可以区分不同用户的信号，提取出有用信号。

这样来，在宽频带上许多对用户可以同时通话而互不干扰。

抗多径干扰在无线通信的各个频段，长期以来，多径干扰始终是个难以解决的问题。

在以往的窄带通信中，采用两种方法来提高抗多径干扰的能力是把最强的有用信号分离出来，排除其他路径的干扰信号，即采用分集接收技术二是设法把不同路径来的不同延迟不同相位的信号在接收端从时域上对齐相加，合并成较强的有用信号，即采用梳状滤波器的方法。

这两种技术在扩频通信中都易于实现。

利用扩频码的自相关特性，在接收端从多径信号中提取和分离出最强的有用信号，或把多个路径来的同码序列的波形相加合成，这相当于梳状滤波器的作用。

另外，采用频率跳变扩频调制方式的扩频系统中，由于用多个频率的信号传送同个信息，实际上起到了频率分集的作用。

能精确地定时和测距我们知道电磁波在空间的传播速度是固定不变的光速。

人们自然会想到如果能够精确测量电磁波在两个物体之间传播的时间，也就等于测量两个物体之间的距离。

在扩频通信中如果扩展频谱很宽，则意味着所采用的扩频码速率很高，每个码片占用的时间就很短。

当发射出去的扩频信号在被测物体反射回来后，在接收端解调出扩频码序列，然后比较收发两个码序列相位之差，就可以精确测出扩频信号往返的时间差，从而算出二者之间的距离。

测量的精度决定于码片的宽度，也就是扩展频谱的宽度。

码片越窄，扩展的频谱越宽精度越高。

适合数字话音和据传输，以及开展多种通信业务数扩频通信般都采用数字通信码分多址技术，适用于计算机网络，适合于数据和图象传输。

安装简便，易于维护扩频通信设备是高度集成，采用了现代电子科技的尖端技术，因此，十分可靠小巧，大量运用后成本低，安装便捷，易于推广应用。

基于以上这些特点，扩频技术首先应用于军事通信，现在也开始民用和商用。

卫星通信多址，抗干扰，便于保密，降低平均功率谱密度移动通信多址，抗干扰，便于保密，抗多径，提高频谱利用率无线本地环路选址，抗干扰，保密，测距测试仪，干扰仪测时延，无码测试仪等。

主要缺点技术复杂，但是随着数字处理技术的发展，集成工艺进步，使扩频系统的实现变得简单，只需对扩展技术有般的了解