运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子原分母中随或增大最快的项除分子分母,使恒等变形后的分子分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。

例求,其中,解分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,,原式,利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。

特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。

例求的极限解对任意正整数,显然有,而,,由夹逼性定理得利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

般常用的方法是换元法和配指数法。

例求极限说明第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出，再凑，最后凑指数部分。

解利迫敛性来求极限设,且在,内有,则例求的极限解且由迫敛性知做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同个极限。

用洛必达法则求极限洛必达法则为假设当自变量趋近于定值或无穷大时，函数和满足和的极限都是或都是无穷大和都可导，且的导数不为存在或是无穷大，则极限也定存在，且等于，即。

利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。

例求解是待定型注运用洛比达法则应注意以下几点要注意条件，也即是说，在没有化为,时不可求导。

应用洛必达法则，要分别的求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。

要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起。

利用定积分求极限设函数在区间,上连续，将区间,分成个子区间在每个子区,任取点,，作和式见右下图，当时，属于最大的区间长度该和式无限接近于个常数，这个常数叫做函数在区间,的定积分。

要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有定积分的概念及性质。

定积分的换元法和分部积分法，变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式。

要求般理解与掌握的内容有广义积分的概念与计算。

例求解设,则在,内连续,取所以,所以原式难点定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。

利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先,利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这方法在求极限时常常用到再者利用等价无穷量。

在求函数极限过程中,如果此函数是中得到解得，即。

因为且对任意的，，可以在上作归纳证明，对任意的，。

由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为。

利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理设函数在内有定义，且有若则若则证明可类似证明，在此就不在详细证明了,由该定理就可利用等价无穷小量代换来求些函数的极限例求的极限解由而,,,故有注由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握些常用的等价无穷小量，如由于，故有,又由于故有，另注在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

如上式中若因有，,，而推出的则得到的结果是的。

小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。

利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括如函数在点连续，则及若且在点连续，则例求的极限解由于及函数在处连续，故利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解些函数的极限有简化求解过程的作用。

例求解本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取因而求得利用两个准则求极限函数极限的迫敛性夹逼法则若正整数,当时，有且则有利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。

例求的极限解因为单调递减，所以存在最大项和最小项则又因为单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例证明下列数列的极限存在，并求极限。

证明从这个数列构造来看显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为,所以得因为前面证明是单调增加的。

两端除以得因为则,从而即是有界的。

根据定理有极限，而且极限唯。

令则则因为解方程得所以利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限例求,解设,则由比值判别法知收敛，由必要条件知,利用单侧极限求极限形如求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于的极限求含取整函数的函数极限分段函数在分段点处的极限含偶次方根的函数以及或的函数，趋向无穷的极限这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

例求在的左右极限解总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。

在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。

这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。

这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。

达到这样的境界非日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。

从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。

参考文献郝梅求函数极限的方法福建教育学校学报刘小军高等数学解题方法云南广播电视大学理工学院学报刘书田高等数学北京大学出版社陈璋朱学炎等数学分析复旦大学数学系高等教育出版社郝涌卢士堂等数学考研精解华中理工大学出版社外文摘要题目求极限的若干方法学生苗年级级专业数学与应用数学南京机电哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目求极限的若干方法学生姓名范秀龙指导教师孙玉莉年级级专业数学与应用数学年月课题来源由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义在自然科学中工程技术，甚至些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。

既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢这个方法就是极限。

无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。

我们还能够通过极限研究函数的连续性可导性收敛性等概念。

因此极限概念是研究函数的重要概念，具有定的理论意义和现实意义。

首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。

其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固复习的目的，培养学生题多解的思维能力。

第三，运用极限的思想能够解些我们不能精确计算的结果。

第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。

国内外同类课题研究现状及发展趋势作研究函数最基本的方法极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。

我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元年创立了割圆术，是使用了极限的思想。

在近代数学许多分支中些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广延拓和深化。

因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。

但是前人在对求函数极限的方法都是单的，而没有个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。

本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对些题目还能够不痛的方法解答。

近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了定的突破。

房俊李广民研究了用中值定理求函数极限的方法曹学锋孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。

众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量重要极限公式洛必达法则等。

但实际在求极限时并不是依靠单方法，而是把多种方法加以综合运用。

对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。

这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳总结，希望对初学者有所帮助。

指导教师审查意见指导教师签字年月教研室研究室评审意见教研室研究室主任签字年月院系审查意见院系主任签字年月学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学年月目录摘要关键词定义法利用极限四则运算法则利用夹逼性定理求极限利用两个重要极限求极限利迫敛性来求极限用洛必达法则求极限利用定积分求极限利用无穷小量的性质