初等函数的连续性。难点是极限概念。数列的极限数列当自变量按正数，„，„增大的顺序依次取值时，所得到的串有序的函数值称为数列。记，这数列常记为或，数列中的每项称为项，称为数列的通项。至于几个较简单的概念，如单调增单调减数列，摆动数列，有界数列等，这里不详细列出。数列极限的定义如果个数列和个不确定的常数具有如下的关系使当时则称为数列当时的极限，记作，这时也称收敛。若无极限，则称之为发散数列。应当注意数列的极限反映通项的变化趋势。通俗的说，就是要多接近就有多接近而上述定义则是这种通俗说法的数学表述。数列的极限具有以下些性质唯性，有界性，四则运算性质。另外，单调有界数列必有极限是条存在性准则。以此为基础，得到了个重要极限。求数列的极限时，对于较简单的数列，可根据数列的通俗说法看出其极限值另外些可根据极限的四则运算性质求得，如。利用重要极限求极限时，定要化为其规范形式，如。还有些用到极限的存在性原则或些技巧，如可用单调有界原则或夹逼准则求得，而则用到分子分母同乘有理化因式。函数的极限函数的极限比数列的极限要复杂些。从自变量的变化来看，分自变量趋于无穷大和自变量趋于有限值两种情形。第种情形又有和三种情形，第二种情形有左右极限的情况。的定义若定义于的个函数与个确定的常数有如下的关系，使当时，。的定义若定义于的去心邻域的函数与个确定的常数有如下的关系，使当时，。左极限的定义若定义于左侧邻域不含在内的函数与个确定的常数有如下的关系，使当时，。类似的可定义其它形式的极限及右极限。从极限的定义容易得出，函数极限存在的充分必要条件是其左右极限存在且相等。象数列的极限样，函数的极限也具有唯性有界性和四则运算性质。此外，函数的极限还具有保号性，即若，则存在去心邻域，使当时，其中,为常数。反之，若在去心邻域内，则。由保号性可推出函数极限的条存在准则夹逼准则，即如果已知时，函数有同极限，且当时有，则当时，的极限也存在且等于。利用夹逼准则可证明另个重要极限。对于函数，也有相应的重要极限。求函数的极限的方法很多，般来说可考虑用单调有界准则或夹逼准则，四则运算性质和两个重要极限以及函数的连续性。特别是学习微分学后有了洛必塔法则对于型或型的未定式的极限的计算就更方便了。有些还可利用函数的泰勒展开式计算。无穷小量与无穷大量极限为零的函数称为无穷小量，无穷小量的倒数称为无穷大量。用无穷小量可以描述极限是无穷小。在同极限过程中，有限个无穷小的代数和仍然是个无穷小有限个无穷小的乘积仍然是无穷小无穷小与有界函数的乘积仍未无穷小。无穷小的比较在求函数的极限，研究微分中值定理及函数的泰勒展开式中得到广泛的应用。设是同极限过程如或的无穷小。如果，则称为的高阶无穷小如果为非零常数则称和为同阶无穷小。如果，则称和为等价无穷小。例如与当时是等价无穷小。在求函数的极限时，为简化计算，可用等价无穷小去替代原无穷小。函数的连续性函数的连续性概念以极限概念为基础。当的极限反映了在附近的变化趋势，它可以不考虑在处有无定义，如果有定义，的极限也可以不为。而函数在的连续性，直观上讲应有。这意味着必须满足以下三条，才有在处连续在有定值存在。基于左右极限的概念，可得左右连续的概念在处左连续即在处右连续即显然，在处连续的充分必要条件是它既左连续又右连续。区间中的连续函数是指函数在区间中每点都连续。仔细分析函数的连续性的概念，可得函数在下列三种情形下不连续即间断在处无定义不存在有定义且也存在，但。由此可得间断点分成以下几类无穷间断点，如且在处无定义。跳跃间断点与存在但不等，例如是的跳跃间断点。可去间断点存在但无定义或，则可补充或修改的定义为，则就在处连续了。第类间断点左右极限均存在的点，如跳跃间断点和可去间断点属此类。第二类间断点不属于第类的间断点，如无穷间断点。连续函数的性质，初等函数的连续性在点连续的函数具有以下性质连续函数的四则运算是连续函数两连续函数的复合是连续函数在区间上连续且单调的函数的反函数也是单调连续函数基本初等函数和初等函数在其定义域这即是导数与微分的联系。如求得的导数，则其微分为，若求得的微分，则其导数为。当函数在处有微分时，即且时，称在处可微。当在区间上的每点处可微时，称在上可微。由于，我们得到，在处可微的充分必要条件是在处可导。因此，当很小时，可用微分去近似替代增量。即。利用此公式，可以进行函数的近似计算。例如。微分的公式与法则与导数的公式与法则完全类似，而且计算微分更简洁。特别地，它还具有阶微分形式不变性。即时，无论是自变量还是函数，的微分总保持同形式。第章导数与微分之例题解析例已知，求。解当时当时当时，例求曲线上点处的切线方程和法线方程。解，在处的切线方程为其法线方程为。例求的导数和的导数。解同理。例求的导数。解对求导对求导对求导对求导注意对多个函数组成的复合函数求导时应做到层层剥皮，逐层求导，千万不要遗漏层。例求的导数。解。例求的阶导数。解类似的用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼兹公式，它与牛顿二项式定理的展开式完全类似。例求由方程确定的隐含数的二阶导数。解方程两边对求导得这里是的函数，是的复合函数，解得。是的函数注意求时，也可在方程两边对求导，解出，将的表达式代入化简即得，所的结果与前法当然是相同的。例用对数求导法求的导数。解先在两边取对数假定得。上式两端对求导，并注意到是的函数，得于是另外,当时当时，。用同样的方法可得到与上述相同的结果。故。例计算由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。解为整数例求的微分。解例称为幂指函数，对幂指函数求导时，先将底化为再用复合函数求导法求的导数。解注也可用对数求导法计算幂指函数的导数。第章导数与微分之自我检测测已知，求。问是否存在答案不存在测质点作直线运动，它所经过的路程和时间的关系是，求时的瞬时速度。答案测求下列函数的导数。答案提示，测已知，求答案测求由所确定的隐函数的二阶导数。答案测用对数求导法求的导数。答案测求由确定的函数的导数。答案测求的微分。答案测求的导数。答案第章微分学应用之内容方法本章以导数为工具，结合函数极限连续等概念，综合地用来对函数的性态进行较全面的研究以及解决些较简单的实际问题。微分学应用的理论基础是微分中值定理。本章重点微分中值定理罗彼塔法则函数的极值及其求法函数的最大最小值及其应用问题难点是函数的最大最小值及其应用问题。微分学中值定理微分学中值定理是本章的理论基础。它指的是拉格朗日中值定理。而罗尔定理是其特例，柯西定理是其推广。罗尔定理如果函数在闭区间连续，在开区间可导，且，那么在内至少有点，使，。罗尔定理的几何意义是闭区间上连续，开区间内可导且两端点函数值相等的函数，至少必有点存在水平切线。拉格朗日定理如果函数在区间连续，在开区间可导，那么至少有点，使成立。拉格朗日中值定理的几何意义是在闭区间内连续，在开区间内可导的函数，必有点，其切线平行于两端点所连的割线。若，则拉格朗日中值定理即是罗尔定理的情形。柯西定理如果函数在闭区间连续，在开区间可导，而且，则在内至少有点，使得。柯西定理是拉格朗日定理的参数形式。从另个角度来看，若在柯西定理中，令，则柯西定理的这特殊情形即是拉格朗日中值定理。柯西定理是罗彼塔法则的理论依据。微分中值定理还可解决些不等式的证明问题。未定式问题所谓未定式问题就是型，型及可化为这两种形式的极限的计算问题。形如称为型未定式，称为型未定式，其他如型，型，型，型及型等均为可化为这两种形式。型未定式及型未定式的求法由下述定理给出。以下用来表示，等极限过程中的个。定理设满足下列条件在的去心邻域内可导对而言或在内可导对而言且。为型或型未定式。为实数或∞则。此方法称为罗彼塔法则。应用此法求极限时应特别注意三点先判断所求极限是型或型未定式。若用此法次后仍然为未定式，则可以连续使用，直到求出为止。对型未定式由可化为型对于·∞型未定式，由或可化为型或型未定式对于型，型及型未定式，由可化为·∞型。函数的单调性与极值判断函数的单调性时，以前只会用其定义。学习微积分后，可以使用导数这工具来判断。其理论依据还是拉格朗日中值定理。函数增减性的判定设在上连续，在内可导。在上单调增在内在上单调减在内在上为常数在内这样，在求函数的单调性区间时，应求出的点称为驻点。驻点将定义域分成若干区间，在每个区间上判断的符号。与单调性紧密相关的是函数的极值。极值的定义如果在的邻域内恒有，则称在取得极大值，称为极大值点类似地，若很有，则称在取得极小值，称为极小值点。该定义是非常直观的。而且由导数的定义可得出为极值点的个必要条件。极值必要条件如果函数在可导，且在取得极值，那么。只是可导函数在取极值的必要条件，而非充分条件。如立方抛物线在处，但不是极值点。另外，在导数不存在的点也可能取得极值。例如在处导数不存在，但是极小值点。驻点和导数不存在的点统称为临界点。对于临界点，有两个用来判断其是否为极值的充分条件。极值充分条件设函数在连续，且在的去心邻域内可导，当时，那么在取得极大值当时，那么在取得极小值当时不变号，则在不取得极值极值充分条件二设函数在有二阶导数，且但，则当时，在取得极小值当时，在取得极大值。函数的最大最小值及其应用问题函数在区间内的最大值的求法求函数的各临界点，计算各临界点得函数值并两端点的函数值比较即可得出其最大最小值。对于许多实际应用问题，根据经验知它必有最值，而在其定义域区间又只有个极值，则该极值必是最值。曲线的凹凸与拐点从曲线上凹和下凹的直观图形可给出其数学定义。凹向个可导函数的图形，如果在区间的曲线都位于该曲线点处切线的上方下方，那么称在区间上凹下凹。判定曲线凹向的方法在使的区间，曲线上凹在使的区间，曲线下凹。拐点条处处具有切线的连续曲线的上凹与下凹部分的分界点称为曲线拐点。拐点判定法设连续函数在的邻域内二阶可导，且或不存在，而在的左右邻域内分别有确定的符号，如果在这邻域内当时异号，那么,是曲线的拐点。当时同号，那么,不是曲线的拐点。函数作图基于前几节对函数性态的讨论，可以画出函数的略图。具体步骤如下确定函数的定义域，间断点，奇偶性，周期性，对称性等求出的二阶导数，并求出使，的点和