贝格测度，现向中等可能地投掷点，即在中均匀分布，那么落在可测集中的可能性与的测度成正比,而与的形状无关。则落在中的概率为，表示的勒贝格测度。这里的测度在维空间中指有限区间的长度二维空间中指可求积的平面区域的面积，三维空间中指可求积空间区域的体积等。几何概率的性质几何概率是概率的种，它具有概率的所有性质。性质证明由于可列个不可能事件之并仍是不可能事件，所以因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得从而由得再由非负性公理，必有周口师范学院本科毕业论文设计性质若有限个事件,互不相容，则有证明对应用可列可加性得即性质对任事件，有证明因为与互不相容，且，所以由概率的正则性和有限可加性得由此得性质若则证明因为，所以，且与互不相容，由有限可加性得即得推论若，则但以上推论的逆命题不成立，即由，无法推出性质对于任意两个事件有证明因为,且,所以由性质得性质对任意两个事件有周口师范学院本科毕业论文设计对任意个事件,有证明先证式因为，且与互不相容，所以由有限可加性和性质得下面用归纳法证明式当时，式即为式。设式对成立，则对，先对两个事件与用式然后由归纳假设，对及进行展开，经过整理合并可知式对也成立。推论对任意两个事件有对任意个事件有定义对中任单调不减的事件序列称可列并为的极限事件，记为。对中任单调不增的事件序列称可列交为事件周口师范学院本科毕业论文设计的极限事件，记为。定义对上的个概率若它对中任单调不减的事件序列均成立，则称概率是下连续的。若它对中任单调不增的事件序列均成立，则称概率是上连续的。性质若为事件域上的概率，则既是上连续的，又是下连续的。证明先证的下连续性。设是事件域中个单调不减的事件序列，即。若定义，则。由于，显然两两不相容，由可列可加性得又由有限可加性得所以。即是下连续的。再证是积设甲乙见车就乘，同乘车的事件为，则有利事件的情形必须满足甲乙两人在同时间段或或或等车，则满足事件的图形如图阴影部分，其面积，代入公式设甲乙最多等辆车，同乘车的事件为，这又分三种情况见车就乘的情况已在中求出甲先到达等辆车，与乙同乘车如图乙先到达等辆车，与甲同乘车这类似于在中，必须满足如果甲在到达，乙就在到达如果甲在到达，乙就在到达，如果甲在到达，乙就在到达，如图阴影部分面积，综上，代入公式。周口师范学院本科毕业论文设计说明本题有别于例，是例的种变形，例是几何概率中种常见的约会问题，这类问题往往利用线性规划知识解决。例与约会问题类似，但有区别，可认为是约会问题的种变形，解决此问题是分别做出事件的所在区域，利用数形结合，再结合几何概型知识解决的。求近似值蒲丰投针问题的结果曾被人多次用来计算的近似值。做次蒲丰投针充分大，表示平行线间的距离，表示针的长度，表示与平行线相交的次数，频率,表示相交概率，则的近似值可以用表示，即得。除此之外还可以根据这个试验再设计个简单的实用的试验来求的近似值。例平面直角坐标系中，以，为四个顶点做个正方形，其面积，以圆点为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为，在这个正方形内随机的投入个点，设其中有个点落在单位扇形内，则,即。只要实际做次相当大时投点实验，观察，的值，就可由上式算出的近似值。不需要等待码头空出问题图图周口师范学院本科毕业论文设计例甲乙两船驶向个不能同时停泊两艘船的码头，它们在昼夜内到达该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间为小时，乙船停泊的时间为小时，求它们中的任艘都不需要等待码头空出的概率。解设甲乙两船到达该码头的时刻分别为与，为两船都不需要等待码头空出，则，，且样本空间为要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达小时以上或乙比甲早到达小时以上，即或，故,或图即为图中阴影部分，为边长为的正方形，由几何概率定义，所求概率为的面积的面积三段小棒构成三角形问题例将长为的棒随即折成三段，求段构成三角形的概率。解设三段小棒构成三角形分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为,且样本空间为,要使段构成三角形，当且仅当任意段之和大于第段，即也即，故为,从而为等腰直角三角形，腰长为，为图中阴影部分，由几何概率定义,所求概率为图周口师范学院本科毕业论文设计的面积的面积。圆周上点构成钝角三角形问题例在单位圆半径为的圆的圆周上随即去点，求点构成钝角三角形的概率。解设所取点将圆周分成段，其中两段弧长为则第段弧长为，再设点构成钝角三角形，则样本空间为,,即为直角边长是的直角三角形，为直角边长为的直角三角形。如图所示，由几何概率定义从而所求概率为两根都是实数问题例在区间,上任取两点,求二次方程的两根都是实数的概率。分析,所满足的条件就可由动点,所在平面区域确定，属于几何概型。解设点由已知得,必满足图周口师范学院本科毕业论文设计图化简得，点,所在平面区域如图阴影部分所示，表示坐标原点为圆心，为半径的圆与边长为的正方形之间的部分，故所求概率阴影正方形。本题并没有几何图形，而是根据问题中涉及两个变量，通过挖掘变量之间的关系，做出图形，转化为几何问题，从而解决问题。投标射击问题例如图，在墙上挂着块边长为的正方形木板，上面画了小中大三个同心圆，半径分别为，人站在之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问投中大圆内的概率是多少投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少投中大圆之外的概率是多少分析投中正方形木板上每点投中线上或没投中都不算都是个基本事件，这点可以是正方形木板上任意点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等，所以投中部分的概率只与这部分的几何度量面积有关，这符合几何概型的条件解记投镖击中大圆内周口师范学院本科毕业论文设计投镖击中小圆与中圆形成的圆环投镖击中大圆之外大圆中圆小圆正方形大圆正方形中圆小圆正方形图正方形大圆正方形检测问题例在的水中有个草履虫，现从中随机取出水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率。分析由于草履虫在水中什么位置是随机的，而取水样也具有随机性，所以取哪部分水样的可能性相等，所以取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关，这符合几何概率的条件解记事件在取出的水样中有草履虫，由几何概率公式得。例在高产小麦种子中混入了粒带麦锈病的种子，从中随机取出，含有麦锈病种子的概率是多少解记事件取出麦种含有麦锈病种子由几何概率公式得即含有麦锈病种子的概率是周口师范学院本科毕业论文设计结束语几何概率是类在可测集中均匀投点，计算这些点落在区域的概率问题，此类问题的概率是用可测集的测度表示的。好多实际问题我们又都可以将它用几何图形表示出来，那么要计算其概率只要满足问题所涉及的试验的样本空间包含无穷多个元素，样本点是由几何空间中的区域内点的随机位置确定，各个样本点的出现是等可能的，而这些几何图形的长度面积等又能计算，我们就可以用几何概率模型进行计算。几何图形往往给人种直观的感觉因此，几何概率是种简单，直观的数学模型。不仅如此，我们还看到它在近似计算等中也有很重要的应用，重视几何概率的教学及应用对我们很重要。周口师范学院本科毕业论文设计参考文献魏宗舒概率论与数理统计教程，北京高等教育出版社，苏淳概率论，北京科学出版社，陈兰祥，蒋凤瑛应用概率论，上海同济大学出版社，应坚刚，何萍概率论，上海复旦大学出版社，王梓坤概率论基础及其应用,北京科学出版社，严士健概率论基础,北京科学出版社，孙荣恒趣味随即问题，北京科学出版社，马建国，刘新平几何概率和类数学模型,陕西师范大学继续教育教育学报，周口师范学院本科毕业论文设计致谢本文得以顺利完成，非常感谢我的指导教师。从论文的选题直到论文的最终完成，他都给予我尽心尽力的指导。王老师严谨的治学态度深深地影响着我，对我今后的学习，工作，生活必将产生影响。借此机会，特向王老师表示最诚挚的感谢。感谢周口师范学院的所有领导和老师。他们严谨的学风，渊博的知识，诲人不倦的品格直感染和激励着我不断上进，使我大学四年的时光充实而有意义，海纳百川，取则行远，在这里我所学到的切，必将使我受益终生。在本论文的写作中，我也参照了大量的著作和文章，许多学者的科研成果及写作思路给了我很大的启发，在此向这些学者们表示由衷的感谢，感谢我的家人，同学，朋友对我的大力支持，他们的无私奉献，关爱和支持使我能够继续去追求自己的人生理想和目标。感谢所有关心，帮助和支持我的人。题目几何概率的性质及其应用姓名学号系别数学与信息科学系专业信息与计算科学专业年级班级指导教师职称年月日毕业论文设计作者声明本人郑重声