量场时，通过黎曼几何方法获得了此系统的能量衰减估计这个结果推广了常系数情形下的相应结论，这不是个容易的推广万方数据若干非线性波动方程解的稳定性和爆破问题第二章第二节研究如下在边界反馈中具有时滞的半线性变系数波动系统−∇∇Ω，，，，∂∂ν−，−，−，，Ω−，−其中是类对称矩阵函数，即而且存在正常数，使得ξ，ξξξ，∀Ω， ̸ξξ，ξ，ξ∂∂ν，∂∂ν，νν，ν，ν为边界上的单位外法向量场，νν和是连续非线性函数这里是个时滞是正实数，属于个合适的空间在些假设条件下，利用逼近法我们证明了上述系统解的存在性另方面，通过引入上述系统的个等价能量泛函，结合黎曼度量下的能量乘子技巧和有关时滞问题的处理办法，我们获得了此系统能量指数稳定的结果这结果同样将常系数情形下的相应结论推广到了变系数情形第三章研究无界区域上具有非线性耗散的变系数波动系统稳定性问题本章主要研究了外部区域上具有两种类型边界条件的变系数波动方程最后陈述了关于具有非线性耗散的波动方程的柯西问题稳定性的研究思路本章中假设是定义在上的对称正定矩阵函数，是上的光滑函数第三章第节在外域上研究如下具有局部半线性耗散的变系数波动系统−∇，Ω，，∂Ω，，Ω，其中Ω是中个具有类光滑边界∂Ω的外部区域，且满足≡Ω是中的紧集，是个非线性函数，形如，，其中是个较大的正常数在本节中，我们巧妙地将黎曼几何方法和常系数情形中处理无界区域问题的办法相结合，最终得出了上述系统能量代数衰减的结果万方数据中文摘要第三章第二节在外域上研究如下具有型非线性边界耗散的变系数波动系统−∇，Ω，，，，∂∂ν−，，Ω，其中Ω是中个具有类光滑边界∂Ω的外部区域，且满足≡Ω是中的紧集设边界∂Ω由和两部分组成且∩∅∂∂ν，∂∂ν，νν，ν，ν是沿着边界的单位外法向量场，νν，仍是个形如，的非线性函数，其中是个较大的正常数是个形如的非线性函数通过使用黎曼几何方法和迹估计的方法，我们得出上述系统的稳定性结论，其中对具有耗散的部分边界的形状没有任何几何条件的限制第三章中所得的衰减结论仍然将常系数情形下的相应结果推广到了变系数情形，这并非是个简单的推广据我们所知，对此类外部区域上变系数系统衰减问题的研究目前还几乎没有!第四章研究了如下具有非线性阻尼和源项的维波动系统−−−，−，−，，其中，是中的个有界开区间在以及初值满足定的假设条件下，证明了上述系统的解在有限形下的切估计，我们避免了对边界形状很强的几何假设最终在对具有耗散的部分边界形状没有任何几何限制的情形下，我们获得了上述系统的能量衰减估计这个结果将文献中常系数情形下的相应结论推广到了变系数的情形有关由偏微分方程描述的非耗散系统即通常定义的能量泛函不是单调递减的的研究是个比较困难的问题近年来，这类非耗散系统引起了数学工作者们的广泛关注刘康生证明了个抽象非耗散线性系统的指数稳定性在文献中，作者将基的性质应用到了个非耗散的梁方程中在文献中，则分别研究了如下具有内部和边界反馈的非耗散分布系统−∇Ω，，，，Ω和−∇Ω，，，，∂∂ν，，Ω，其中Ω⊂是具有光滑边界的有界开区域是满足些性质的非线性连续函数在系统和系统中，导致系统非耗散的项是∇事实上，对相应的能量泛函求导会出现积分项∫Ω∇，由于既不知道此项对范数，ΩΩ∫Ω∇产生的影响，也没有关于其导数的信息，因而无法得出系统能量单调递减的结果然而，系统能量单调递减这事实是之前的许多文献中研究偏微分方程解的能量衰减的个重要前提因此对∇这项的处理成为研究这两个非耗散系统的关键在文献中，当是个般的连续非线性函数且较小时，作者分别证明了具有内部耗散的系统和边界耗散的系统的强解和弱解的致衰减性当万方数据第章绪论具有具体形式∇−∇ϕ∇，其中ϕ，Ω，作者分别得出了上述两系统等价能量泛函的些精确衰减估计代数衰减和指数衰减，其中并没有对ϕ施加任何限制年，郭宝珠和邵志超将上述具有边界耗散的波动系统推广到了变系数情形，研究了如下的初边值问题−∇Ω，，，，∂∂，，Ω，其中Ω是中个具有光滑边界的有界区域边界由和两部分组成，是的非空相对开集，∩∅是算子是边界上关于度量的单位外法向量场，详见文献使用与文献中截然不同的研究方法黎曼几何方法，作者通过引入系统的个等价能量泛函得出了在定条件下此系统本质上是个耗散系统，最终证明了这样个具有变系数的半线性波动系统的致稳定性黎曼几何方法的应用使作者不仅将文献中常系数情形下的结果推广到了变系数情形，而且在很大程度上简化了文献中相应的计算过程时滞效应经常会出现在许多日常生活的实际问题中这些遗传效应很多时候是不可避免的，而且它们还可能把个稳定系统变得不稳定，也就是说，它们可以诱导些不稳定性因此对具有时滞的系统稳定性的研究是个无论在理论上还是在实践中都很有意义的课题近年来，对具有时滞影响的的研究已经成为个活跃的研究领域在文献中，作者证明了边界控制中的个小时滞就可以导致不稳定发生为了稳定个包含输入时滞项的双曲系统，加入额外的控制项是很必要的在文献中，作者分别研究了如下边界内部耗散中具有时滞的波动系统−Ω，，，，∂∂ν−，−，−，，Ω−，−，万方数据若干非线性波动方程解的稳定性和爆破问题和−，−Ω，，，，∂∂ν，，Ω−，−Ω其中Ω⊂是个具有类边界的有界开区域且∅， ̸∅是时滞是正实数Ω是满足些条件的函数初值属于个合适的函数空间在文献中，作者证明了当，作者得出了个指数稳定的结果受以上这些文献的启发，我们在第二章第二节研究如下在边界反馈中具有时滞的半线性波动系统−∇∇Ω，，，，∂∂ν−，−，−，，Ω−，−其中Ω是中个具有光滑边界的有界区域边界由和两部分组成，是的非空相对开集，∩∅是类对称矩阵函数，即存在正常数，使得ξ，ξξξ，∀Ω， ̸ξξ，ξ，ξ∂∂ν，∂∂ν，νν，ν，ν为边界上的单位外法向量场，νν和是满足些假设看假设，的连续非线性函数这里是个时滞是正实数，属于个合适的空间万方数据第章绪论这是个边界上具有时滞的非耗散变系数波动系统使用逼近法我们证明了上述系统解的存在性通过引入上述系统的个等价能量泛函，使用黎曼流行上的能量乘子技巧，我们最终获得了此系统指数稳定的结果，从而说明该系统本质上是耗散的这里获得的结果将文献，中的结果推广到具有变系数主部的情形将文献中的结果推广到边界上具有时滞的情形有关具有局部耗散的波动方程的研究也有大量的文献年，研究了如下类具有局部耗散的型方程的柯西问题−Ω，在系统中，“局部”体现在关于的假设在个大球的外部ε在文献中作者证明了此系统的能量是指数衰减的在文献中，则在有界区域上研究了如下类具有局部耗散的波动方程的初边值问题−，Ω，，∂Ω，，Ω，其中，是形如，−，其中ν为边界∂Ω上的单位外法向量场假设存在和Ω中个包含的开集使得ε，∀在文献中，作者获得了问题的衰减估计近年来，在外部区域上对具有局部耗散的波动方程的研究也引起了数学工作者们的极大关注在这方面，做了系列的研究工作，在文献中，考虑了下面的问题−Ω，，∂Ω，，Ω，其中Ω是中个外部区域，满足≡Ω是中的紧集是形如的非线性源函数是个非负函数，在部分边界的个邻域和无穷远处满足ε，即耗散存在于部分边界和无穷远处利用能量乘子法，作者获得了系统的能量衰减估计和解的范数的下界在这之万方数据山西大学届博士学位论文若干非线性波动方程解的稳定性和爆破问题作者姓名李静指导教师柴树根教授学科专业基础数学研究方向偏微分方程及控制理论培养单位数学科学学院学习年限年月至年月二四年六月万方数据ff，万方数据若干非线性波动方程解的稳定性和爆破问题承诺书本人郑重声明所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。作者签名年月日万方数据学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明本人完全了解山西大学有关保留使用学位论文的规定，即学校有权保留并向国家有关机或机构关送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印缩印或扫描等手段保存汇编学位论文。同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。作者签名导师签名年月日万方数据目录中文摘要第章绪论研究现状及主要工作介绍预备知识第二章有界区域上变系数波动方程的能量衰减问题具有半线性多孔声学边界条件的波动方程的能量衰减类边界反馈中具有时滞的波动方程解的存在性和稳定性第三章无界区域上具有非线性耗散的变系数波动方程的能量衰减问题外部区域上具有局部半线性耗散的波动方程的能量衰减外部区域上具有非线性边界反馈的波动方程的能量衰减第四章类具有非线性阻尼和源项的波动方程解的爆破问题参考文献研究成果致谢个人简况及联系方式承诺书学位论文使用授权声明万方数据ffiffifi万方数据中文摘要中文摘要波动系统是偏微分方程和分布参数控制理论中类重要的数学模型具有变系数主部的波动系统较常系数波动系统能够更准确地反映实际问题，因而对它的稳定性的研究具有重要的实践意义本文在第二三章中主要研究在不同类型的区域上有界和无界，几类变系数波动系统的稳定性问题其中用到的主要方法是黎曼几何方法第四章则对波动方程解性质的另方面解的爆破问题进行了探究论文分为四章第章是绪论，分为两部分第章第节主要介绍本文的研究背景国内外研究现状本文使用的主要研究方法黎曼几何方法以及本