为连续函数，分数阶导数的定义为其中为分数阶求导次数是二项耦合系数，它的定义为!!!这里其中为函数。分数阶微积分定义使在上为连续函数，分数阶微积分的定义为其中分数阶阶次，式中和分别为积分下线和上限。万方数据中国计量学院硕士学位论文分数阶求导定义使在上为连续函数，分数阶微积分的定义为其中分数阶阶次，为整数。分数阶方程建立在分子热运动中，介质分子对介质中的微粒产生随机碰撞，这就是著名运动。认为微粒在介质中受到的外力包括随机力外部信号阻尼力和梯度势场力等。根据牛顿第二定律可以得出方程在过阻尼情形下，式中的加速度项可以忽略，模型可以简化为对于方程也就是式，方程左端阻尼项可以写为即在白噪声环境下粒子当前速度与粒子受到的阻尼力有关，其运动轨迹是马尔科夫过程然而在非均匀介质中，其运动轨道是非马尔科夫的。也就是说，过去时刻的速度会以不同权重加到粒子所受的阻尼力上，这种权重表现为对过去有记忆的阻尼核函数，描述这种现象的是广义方程其中随机项与阻尼核函数满足涨落耗散定理，即万方数据中国计量学院硕士学位论文其中为常数，是介质温度。在真实的生化和物理环境中，介质对速度通常具有幂律记忆性，距当前时刻越远，记忆性越差距当前时刻越近，记忆性越强。在广义方程式中，设阻尼核函数为其中。把式中带入式左边的阻尼项，并根据定义和定义有其中是对求次导数。由此得到过阻尼情形下的分数阶方程为其中。根据导数的性质将式简化成其中和为系统结构参数为低频微弱信号函数为均值为，自相关函数并且噪声强度为的高斯白噪声函数。式是本论文的研究分数阶随机共振的基础。分数阶导数的数值求解及模块化封装分数阶导数的数值求解分数阶求导的定义已经出了很多年，但是人们还是无法很顺利地对分数阶求导方程进行解析值求解，为了进行数值仿真分析，本论文引入了递归逼近算法，此方法是建立在传递函数之上的万方数据中国计量学院硕士学位论文其中为求导阶次。并且可以将式写成下面的形式其中和分别是上面式子的零点和极点，为近似阶次，并且它们与频率区间范围，有下面的关系还有增益与它们的关系见下面表达式下面就来验证下这个方法的有效性，当取求导阶次为时，并且和，利用现代数值仿真得到它的图，如图所示。其中图中带星号的是近似整数阶系统，直线代表的是原分数阶系统，这样可以从图中看出，迭代逼近方法可以使得系统在频域段内很好地逼近原分数阶系统，这样分析频率特性时，人们就可以利用方法，也就是近似到个整数阶系统，这样，就可以用这个整数阶系统来代替分数阶系统，从而简化了工作难度，当然，本论文的分数阶求导计算也利用了这个方法。万方数据中国计量学院硕士学位论文图求导阶次为时的图分数阶求导模块化封装上面利用了方法实现了分数阶传递函数的整数近似化，但是上述方法是存在个函数中，每次利用时都得调用这个函数，但是如果想要直观地模块化地和简单化修改参数来分析系统特性时，这样的就会很麻烦，这里需要做的就是将这个分数阶求导封装成个模块，就像下其他模块样，通过简单的操作就可以拿过来用，这样就可以更加简化实现分数阶仿真系统。现在这个模块有两层结构，最外面的层主要将分数阶求导阶次实时地显示出来，如图所示内部实现就是将用到方法将近似整数阶传递函数的分子和分母的系数传递到和两个系数矩阵中，这样就会得到个近似整数阶传递函数，如图所示。当然这两个过程在模块执行之前就已经完成初始化了。图分数阶传递函数模块此时这个模块就已经建立起来了，这样就可以直观地修改所需要的参数。从图可以看出，在处可以修改所需要的求导阶次，同时可以修改频率的范围，也就是修改和的值。万方数据中国计量学院硕士学位论文图分数阶求导模块属性图图系统仿真图到现在为止，就可以使用这个模块了，假如现在有个分数阶方万方数据中国计量学院硕士学位论文程如式，并且需要建立与这个方程密切相关的系统，给定这个系统的结构参数分数阶求导阶次系统的噪声强度和微弱周期信号的幅值和频率，就可以得出系统仿真图如图所示。本文后面的仿真系统都是建立在分数阶求导模块和此类系统搭建方法之上进行的，通过此类方法，无需繁琐地输入代码，只需要将各个模块的具体参数输入进去就可以完成仿真。并且这种方法比较直观，有利于研究者更好地理解这些系统。这种直观化和模块化的方法为后面研究分数阶随机共振现象提供了很多便利。随机共振度量方法随机共振是非线性系统在噪声和输入信号协同作用下产生的种特殊的现象。研究者们提出了各种度量随机共振效应的方法如信噪比功率谱密度驻留时间互信息量等方法来定量刻画随机共振效应。互信息量主要是针对系统的输入信号为非周期信号的度量方法，它是信息理论中衡量信息传输多少的方法。此外，采用随机能量方法来研究随机共振，提出了利用外力对系统做功的多少来度量随机共振。下面将介绍了功率谱密度信噪比和驻留时间这几种度量随机共振效应的方法。功率谱密度功率谱密度般用于随机过程振动的分析，它是从能量的角度来分析和度量随机共振的状态，但是它实际上是种概率统计方法，下面就从概率的角度进行分析。在个双稳态系统中，存在个粒子在两个势阱稳定点以频率来回跃迁，并且这个粒子在时间内存在于每个势阱中的的概率分别为。这个系统的输入信号，并且粒子在两个势阱中的跃迁概率密度分别为。因此可以的出下面关系等式并且拥有条件，则可以将上式改为万方数据硕士学位论文分数阶随机共振机理及外加周期信号控制的研究作者邓博导师郑永军副教授学科测试计量技术及仪器中国计量学院二〇四年六月万方数据，万方数据中图分类号学校代码密级公开硕士学位论文分数阶随机共振机理及外加周期信号控制的研究作者邓博导师郑永军副教授申请学位工学硕士培养单位中国计量学院学科专业测试计量技术及仪器研究方向热工参数检测二〇四年六月万方数据独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国计量学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名签字日期年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解中国计量学院有关保留使用学位论文的规定。特授权中国计量学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印缩印或扫描等复制手段保存汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。保密的学位论文在解密后适用本授权说明学位论文作者签名导师签名签字日期年月日签字日期年月日万方数据致谢首先深深的感谢导师郑永军副教授，在他的亲切关怀和悉心指导下，我的研究工作才得以顺利完成。在攻读硕士学位期间，郑老师严谨的治学态度渊博的学术知识以及精益求精的工作作风使我受益匪浅。在这两年多的时间里，不论是科学研究工作，还是学习生活，都给予了莫大的关心和指导，使我不仅在学业上有了很大的进步，而且也学会了很多做人做事的道理。诚挚的向郑老师致以我最崇高的敬意。感谢白伟李希明刘洁对我的研究工作的支持和帮助，以及李赫高建阳顾泽涵王飞和高猛等在读研期间给予我生活和学习上的关心和帮助。同时感谢本论文所引用文献的作者们，从他们的文章中汲取的相关知识对我的研究工作具有重要的辅导作用。感谢研究生部的各位老师，是她们辛勤地工作使得我们有良好的学习氛围和舒适的生活环境。深深地感谢哺育我长大的父母，是你们精神和经济上的支持才使我能够顺利完成学业。最后，衷心地感谢百忙之中抽出时间审阅本论文的专家。再次向关心和帮助过我的老师同学亲人和朋友致以最诚挚的谢意和最美好的祝福。邓博年月万方数据分数阶随机共振机理及外加周期信号控制的研究摘要随机共振是种将噪声信号能量向有用信号能量转移的种现象，它只有在微弱周期信号噪声信号和系统发生协同作用才能产生。现阶段已经对整数阶系统的随机共振现象做了大量的研究，并且将它们运用到了实际生产过程中。论文重点研究了分数阶系统的随机共振现象及其控制方法。分数阶系统相对于整数阶系统来说存在很多的反常性，论文利用了分数阶系统对过去时间的记忆性，然后再结合分数阶微积分理论推导出分数阶方程，为建立分数阶仿真模型提供了理论基础。论文以输出响应的时域和功率谱状态来对系统的随机共振现象进行分析，通过改变分数阶系统的求导阶次和噪声信号的强度大小，来观察输出响应的变化，然后通过分析输出响应的功率谱，来研究系统随机共振的强弱状态。但是实际的应用中，系统的微弱周期信号噪声信号是不可改变的，并且其结构参数也是固定不变的，通过改变系统原有的信号和结构参数来使系统发生随机共振现象往往是不现实的。此时就通过外加周期信号控制的方法，来有目的强化或产生随机共振现象，从而产生具有特定性质的输出响应，实现系统微弱信号的检测。论文还研究了耦合分数阶系统的控制方法，将两个系统通过非线性方式耦合为多稳态系统，这个耦合系统的动力学特性比单分数阶系统更为丰富。通过调节控制系统的结构参数或及其外加周期信号的参数来控制系统发生或加强随机共振现象，从而提高了输出信号的品质。论文还研究了用模拟电路实现分数阶系统的随机共振现象，首先将分数阶算子用近似方法转化为整数阶次的传递函数，再结合电路设计方法来设计分数阶系统的随机共振模拟电路图，并通过观察它的输出响应的时域状态来分析系统的随机共振现象。论文研究的分数阶随机共振现象及其控制方法为研究分数阶系统的信号检测提供了理论基础和研究方法，将加快分数阶系统随机共振方法的实际运用。关键词随机共振分数阶方程分数阶求导