能是区间的端点是函数的极值是与函数在的个邻域上的函数值比较而言的,因此极值是个局部的概念函数在区间上可能有很多的极大值或极小值,但只能是个最大值如果存在最大值和个最小值如果存在最小值若函数在区间的内部点取最大值最小值,则必是函数的极大点极小点极值存在的条件费马定理若函数在点可导,且为的极值点,则这就是说可导函数在点取极值的必要条件是注函数连续但不可导的点处,也可以为极值,另方面,使的也未必使为极值应检查充分性定理极值的第充分条件设在点连续,在邻域內可导若当,时,当,时,则在点处取得极小值若当,时,当,时,则在点处取得极大值注若在的左右邻域内同号,则必不是极值即使函数连续且左右侧邻域导数都存在,并且为极值,也未必存在邻域使与邻域使换言之,左右侧邻域导数反号是极值的充分条件而不是必要条件定理极值的第二充分条件设在的邻域,内阶可导,在处二阶可导,且,,若,则在取得极小值定理极值存在的第三充分条件设在的邻域,内存在直到阶导数,在处阶可导,并且,,则当为偶数时,在取得极值,且当时,在取得极小值当为奇数时,在处无极值典型例题解析例求的极值。解的定义域为,,令,,又由极值的第二充分条件可知,是极大值,是极小值例试求函数的极值解由于,因此是函数的三个稳定点,的二阶导数为,由此可得,及所以在时取得极小值求三阶导数,有,由于为奇数,由极值第三充分条件可得在不取极值再求的四阶导数,有为偶数,在取得极大值综上所述,为极大值,为极小值总结求极值的方法步骤求可疑点,可疑点包括ⅰ稳定点亦称驻点或逗留点,皆指阶导数等于零的点ⅱ导数不存在的点ⅲ区间端点对可疑点进行判断的基本方法直接利用定义判断利用实际背景来判断查看阶导数的符号,当从左向右穿越可疑点若的符号,由正变为负则为严格极大值由负变为正则为严格极小值若不变号,则不是极值函数的最大值最小值问题函数在个连续区间上的最大小值是此区间上的极大小值及此区间端点的函数值中的最大小者如就最大值而言,我们常说登峰造极,说的是在个山峰上达到极高,但就多个山峰来说,峰峰有极高,而其中最高者只有个,并且在个游山者的段旅程中,最高点有时不定在个山峰之极,就算此人停在个山峰的上坡路上的个位置,却也可能高于其它峰颠这说明,有时区间端点也可能是最值点因此,求最值时不光要比较各个极值,还要考虑到区间端点值由连续函数在,上的性质,若函数在闭区间,上定有最大值最小值,这就为我们求连续函数的最大最小值问题提供了理论保证函数在区间的最小值和最大值统称为最值生产实践和科学实验所遇到的最好,最省,最大,最小等问题都可归结为数学的最值问题闭区间上连续函数的最大值最小值求法求出在该区间内部的切驻点及不可导的点,并计算相应的函数值求出在闭区间两端点处函数符号,设,由下表可知函数得凹凸性和拐点曲线上的点,严凸严凹拐点严凹严凸拐点严凸严凸非拐点严凹严凹非拐点经典题型例讨论函数的凹凸性及其拐点解函数的定义域是,,令其解是与它们将定义域分成三个区间,列表如下,严凸拐点严凹拐点严凸显然在,与,是严凸,在,严凹曲线上的点,与,都是拐点注若,曲线的拐点,在的导数不定存在曲线的渐近线定义当曲线上动点沿着曲线无限远移时,若动点到直线的距离无限趋近于,则称直线是曲线的渐近线曲线的渐近线包括三种水平渐近线垂直渐近线斜渐近线水平渐近线若,则是条水平渐近线又有,则也是条若,则当然只能算条垂直渐近线若存在,使或则是条垂直渐近线,这样的先由观察法观得,般考虑分母为零处对数的真数为零处斜渐近线是曲线的条渐近线的充要条件是,这里也可以改成若成立,即为水平渐近线例求的渐近线解已知,则是曲线的垂直渐近线又有直线,即是曲线的渐近线注无穷区间的曲线具有什么样的性质才是具有渐近线由观察不难得到以下的简易判别法设,当与都是连续函数时,若且,则直线是曲线的垂直渐近线当是次多项式,是次多项式,若则曲线有斜渐近线若,则曲线有水平渐近线当与是无理函数时,沿与的最高次幂分别是正数与,若则曲线有斜渐近线若则曲线有水平渐近线描绘函数图像简单介绍及描绘图像步骤中学数学应用描点法描绘了些简单函数的图像,但是描点法有缺陷这是因为描点法所选取的点不可能很多,而些关键性的点,如极值点拐点等可能漏掉,曲线的单调性凹凸性等些重要的形态也没有掌握因此,用描点法所描绘的函数图像常常与真实的函数图像相差很多现在,我们已经掌握了应用导数讨论函数的单调性极值性凹凸性拐点等的方法,从而就能比较准确地描绘函数的图像描绘函数的图像可按下列的步骤进行确定函数的定义域考察函数是否具有些特性奇偶性周期性考察函数是否有垂直渐近线水平渐近线斜渐近线如果有渐近线,将渐近线求出来求出函数的单调区间极值列表求出函数的凹凸区间和拐点列表确定些特殊点如曲线与坐标轴的交点,容易计算函数值的些点,综合上述讨论结果画出函数图象典型例题分析例作出函数的图形解由题意知函数的定义域为,易知是函数与坐标轴的交点,,令有是的两个驻点,是不可导点,,令有,,,是拐点,所以列表如下,,不存在不存在凹拐点,凸不存在凸极小值凸,是垂直渐近线,,,其斜渐近线为以上讨论运用导数研究函数性态为进步研究函数性质提供了依据,解决了函数单调性极值最值图象等问题，同时我们也掌握了更精确的画函数图像的方法我们在电脑中可以借助和等工具来完成作图,并且对高中导数部分的学习和教学也具有定的指导意义参考文献刘玉琏傅沛仁数学分析讲义第四版高等教育出版社年版蔡燧林胡金德数学辅导讲义学苑出版社年版华东师范大学数学系数学分析高等教育出版社年版钱吉林数学分析题解精粹中央民族大学出版社年版裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社年版致谢值此论文完成之际,首先向我的指导教师刘丽梅教授表示深深的谢意本学位论文自始至终是在刘老师的指导下完成的刘老师为本学位论文付出了大量的辛勤劳动,给予了无微不至的关怀,在此对刘老师的辛勤付出表示衷心的感谢同时,在本文的写作过程中,我的好多同学也给予了我很多的帮助,在此表示深深的谢意最后,衷心感谢对本文进行评审,并提出宝贵意见的各位老师题目利用导数研究函数的性态郑重声明本人的毕业论文设计是在指导教师刘丽梅的指导下撰写完成的。如有剽窃抄袭造假等违反学术道德学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文设计作者签名年月日目录标题中文摘要函数的单调性单调性判别法单调区间的划分典型例题分析函数的极值极值的概念极值存在的条件典型例题解析函数的最大值最小值问题闭区间上连续函数的最大值最小值求法应用问题的最值的求法函数的凸凹性概念定理解题步骤经典题型曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线描绘函数图像简单介绍及描绘图像步骤典型例题分析参考文献致谢外文页利用导数研究函数的性态庄文杰摘要导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的工具下面通过六部分内容可导函数单调性判别法函数的极值函数的最大小值函数的凹凸性渐近线讨论函数图像对运用导数研究函数性态进行了讨论,其中研究的性质有函数的单调性极值最值及函数的凹凸性与拐点,并由这些性质和中学所学的函数的定义域周期性和奇偶性等等来讨论函数的图像关键词导数函数单调性凹凸性拐点渐近线导数是数学的重要基础,是联系初高等数学的纽带它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质探求函数的极值最值求曲线的斜率和解决些问题的有力工具应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性极值与最值这过程中的原理运用导数来研究函数的性态,它包括如下内容单调性极值最值及函数的凹凸性与拐点渐近线函数的图像下面我们通过六部分内容来详细说明下⒈函数的单调性中学数学用代数的方法讨论了些函数的性态如单调性极值性奇偶性周期性等由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律而导数为我们深刻全面地研究函数的性态提供有力的数学工具回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率如同上坡的变化率是坡度等,而物理意义如同位移之如速度速度之如加速度等等单调性判别法定理若函数在,内可导,则在,内单调递增在递减定理若函数在,内可导,则,内单调在,内严格递增,,有在,内的任何子区间上不恒等于在,内严格递减,,有在,内的任何子区间上不恒等于推论设函数在,内可导若,则在,内严格递增严格递减但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件例