„„„„„„„„„„„„„„第曲面积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„第二曲面积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„第积分中值定理中值点的渐进性„„„„„„„„„„„„„„„„„第二积分中值定理中值点的渐进性„„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„估计积分值„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„求含定积分的极限„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„确定积分号„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„比较积分大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„证明函数的单调性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„证明定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„谢辞„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。其中，微积分的创立，也极大地推动了数学的发展。积分中值定理是作为微积分中的个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述下。通常情况下，积分中值定理包含第积分中值定理第二积分中值定理。而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在个区间上的情形。还讨论了在几何形体上二重三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式数学中些定理的证明，数学定理命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第积分中值定理在处理些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作个基础定理，解决些现实问题。此外，在世纪，国内外定在有关积分中值定理的中间点渐进性质研究就已经有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下个区间上的情形论述第第二积分中值定理的渐进性质论述透彻，而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性，第曲线型积分渐近性，甚至还将积分线由有限改为无穷的情形，他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为般化。本课题的研究过程为讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理推广渐进性，将各方面的应用如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。积分中值定理的证明定积分中值定理引理假设和分别为函数在区间,上的最大值和最小值，则有,成立。证明因为和分别为函数在区间,上的最大值和最小值，即，我们对不等式进行积分可得，由积分性质可知成立，命题得证。定理定积分中值定理如果函数在闭区间,上连续，则在区间,上至少存在个点，使下式,成立。证明由于，将同时除以可得。此式表明介于函数的最大值和最小值之间。由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间,上至少存在点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有，成立，将上式两端乘以即可得到,，命题得证。备注很显然，积分中值定理中公式在与之间不论或都是成立的。积分第中值定理定理第积分中值定理如果函数在闭区间,上连续，在,上不变号，并且在,上是可积的，则在,上至少存在点，使得平面上的有界闭区域，其中,为光滑曲面，并且函数在上连续，则在曲面上至少存在点，使成立，其中是曲面的面积。证明因为在曲面上连续，所以存在,且使得成立，我们对上式在上进行第类曲面积分可得，其中为曲面的面积，且，因为，两边同除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在点，使，成立，两边同时乘以可得，命题得证。第二曲面积分中值定理定理第二型曲面积分中值定理若有光滑曲面,，其中是有界闭区域，函数在上连续，由此在曲面上至少存在点，使成立，其中是的投影的面积。证明因为函数在曲面上连续，所以存在,使得，对上式在曲面上进行第二类曲面积分可得，其中为投影在曲面上的面积，并且我们记。若，则上式除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在点，使，两边同时乘以有，同理，若，则上式除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在点，使，两边同时乘以有。由以上证明过程可得，从而结论成立。第积分中值定理中值点的渐进性定理假设函数在,上阶可导，其中在点的直到阶右导数为，而不为，即，，并且有在点连续函数在,可积且不变号，并且对于充分小的，在,上连续，且，则第积分中值定理中的中值点满足。证明对任意,，我们做个辅助函数如下方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则由积分中值定理和洛比达法则可以得到,，从而,。且有成立。另方面，由积分中值定理和洛比达法则可得由洛比达法则，则有，因此可得。比较式与式可以得到。定理假设函数在,上连续，存在并且有在上有阶导数，有，成立，并且在点连续，不变号，则第积分中值定理中的点满足。证明对任意的,，构造辅助函数如下。方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有由于，则，且函数,在上有阶导数，则上式等于,另方面，由积分中值定理。则对使用洛比达法则可得,比较，式我们可以得到。定理设函数在,上阶可导，，，在点连续函数,在上有阶导数，且，，并且在点连续，不变号，则第积分中值定理中的满足。证明对任意的,，我们构造辅助函数如下方面，由于时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有由于函数在,上阶可导，且函数在,上阶可导，则上式等于另方面，由积分中值定理。则对使用洛比达法则可得,比较式我们可以得到。毕业论文设计题目积分中值定理的推广及应用学号姓名年级学院信息科学技术学院系别数学系专业信息与计算科学指导教师完成日期年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面积分中值定理积分中值定理的推广积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理第积分中值定理第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在此基础上，我们还讨论了在几何形体上的黎曼积分第中值定理，它使得积分中值定理更加般化，此情形对于讨论般实际问题有很显著作用。在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间,讨论函数的积分中值定理情形转换为在开区间,上讨论函数上的积分中值定理，这个变化对于解决些实际的数学问题更为方便。不仅如此，我们还将几何形体上的黎曼积分第中值定理推广到第第二曲线型积分中定理和第第二曲面型积分中值定理情形。有关点的渐进性，我们对第积分中值定理的点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的种情形，其它证明过程只做简要说明。对于应用，我们给出了些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。关键词积分中值定理推广应用渐进性,目录引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的证明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„定积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分第中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„积分第二中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„几何形体上黎曼积分第中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„积分中值定理的推广„„„„„„„„„„„„„