利用定义转化为两点到准线的距离和,如抛物线为时,探究抛物线的定义与性质的应用用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要解答步骤为定位置根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向设方程根据焦点和开口方向设出标准方程寻关系根据条件列出关于的方程得方程解方程,将代入所设方程即为所求典型例题已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆𝑥𝑦短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为,求抛物线的方程思路分析先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五解解法由已知条件可知抛物线的对称轴为轴,故设抛物线的方程为或抛物线的焦点到顶点的距离为,𝑝所求抛物线的方程为或解法二由已知条件可知抛物线的对称轴为轴故可设抛物线的方程为抛物线的焦点到顶点的距离为所求抛物线的方程为或探究探究二探究三探究四探究五探究二抛物线的焦点弦抛物线的焦半径抛物线的焦半径是指抛物已知的个顶点为抛物线的顶点,点,都在抛物线上,且,证明直线必过定点证明设所在直线的方程为,则直线的方程为𝑘,由𝑦𝑘𝑥解得𝑥,𝑦或𝑥𝑘即点的坐标为𝑘同样由𝑦𝑘解得点的坐标为,故所在直线的方程为𝑘𝑘𝑘,探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五化简并整理,得𝑘不论实数取任何不等于的实数,当时,恒有故直线过定点,探究探究二探究三探究四探究五探究四最值问题具有定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题处理般方法是由条件建立目标函数,然后利用求函数最值的方法求解或利用基本不等式求解典型例题如图所示,已知直线交抛物线于,两点,试在抛物线这段曲线上求点,使的面积最大,并求出这个最大面积探究探究二探究三探究四探究五解由𝑦𝑥解得则设,为抛物线这条曲线上点,为点到直线的距离,则有𝑥𝑦𝑦𝑦探究探究二探究三探究四探究五从而当时因此,当点坐标为,时,的面积取得最大值探究探究二探究三探究四探究五探究五易错辨析易错点忽视直线斜率不存在的情况忽视对消元后的方程是否为二次方程的讨论典型例题求过点,且与抛物线有且只有个公共点的直线方程错解设过点,的直线方程为,由𝑦𝑘𝑥消去,化简整理得由,得故所求直线方程为探究探究二探究三探究四探究五错因分析遗漏两点,是漏掉直线斜率不存在的情况,二是联立方程得到关系式后未对二次项系数进行讨论,漏掉的情况正解若直线斜率不存在,则过点,的直线方程为,由𝑥得𝑥即直线与抛物线有且只有个公共点,若直线斜率存在,则设过点的直线方程为,由𝑦𝑘𝑥消去,化简整理,得,当时,解得𝑥即直线与抛物线有且只有个公共点探究探究二探究三探究四探究五当时,由,解得,即直线与抛物线有且只有个公共点综上所述,所求直线方程为或或抛物线上点,到其对称轴的距离为解析抛物线的对称轴为轴,把,代入,得𝑥,即,故到轴的距离为答案抛物线的简单几何性质课程目标学习脉络掌握抛物线的图形和简单几何性质能运用性质解决与抛物线有关的问题掌握直线与抛物线的综合问题抛物线的简单几何性质标准方程图形对称轴轴轴轴轴焦点顶点原点,准线离心率思考试分析是如何影响抛物线开口大小的提示因为过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦的长度是,所以越大,开口越大直线与抛物线的位置关系设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点当时,直线与抛物线相切,有个交点当时,直线与抛物线相离,没有交点若,直线与抛物线有个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合因此直线与抛物线有个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件思考过焦点的直线与抛物线相交于点怎样求弦长提示设直线利用弦长公式𝑘利用定义转化为两点到准线的距离和,如抛物线为时,探究抛物线的定义与性质的应用用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要解答步骤为定位置根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向设方程根据焦点和开口方向设出标准方程寻关系根据条件列出关于的方程得方程解方程,将代入所设方程即为所求典型例题已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆𝑥𝑦短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为,求抛物线的方程思路分析先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五解解法由已知条件可知抛物线的对称轴为轴,故设抛物线的方程为或抛物线的焦点到顶点的距离为,𝑝所求抛物线的方程为或解法二由已知条件可知抛物线的对称轴为轴故可设抛物线的方程为抛物线的焦点到顶点的距离为所求抛物线的方程为或探究探究二探究三探究四探究五探究二抛物线的焦点弦抛物线的焦半径抛物线的焦半径是指抛物线上任意点与抛物线焦点的连线段抛物线的焦半径公式抛物线抛物线抛物线抛物线探究探究二探究三探究四探究五过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为则