由于,在,上有，且所以迭代法收敛。取,得所以,取近似根满足精度要求。如果精度要求为,则由可知,需要迭代次。实际上,方程在区间,上有唯根，而在区间,上有。若取，则有注意这里迭代次数是充分的但不是必要的。可知,只需迭代次。推论若,在附近具有阶连续导数,且，当，时，迭代格式都收敛于方程在区间上的唯根。实际上，由连续性可知,存在，，使对任何，都有而且，对任何，，都有即，。由定理可见，结论成立。这时的迭代方法称为局部收敛的。加速算法则,序列注意,如果第步发生,就终止计算,取。如果记ˆˆ例解用迭代公式简单迭代法算法取,计算结果如下迭代法是求方程根的重要方法之,其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛,而且迭代法还可用来求方程的重根复根及非线性方程组。迭代法迭代公式设在有根区间,上二阶连续可导,是根的个近似值,因为取,方程近似为若,其解为得到根的新的近似值,般地,在附近线性化方程为设,其解为迭代格式称为迭代法直线就是迭代法也叫切线法迭代法相当于取迭代函数迭代法的收敛性的简单迭代法因为如果是的单根,即,但,则有,从而可知迭代法在根附近是收敛的因为所以于是有可见,迭代法至少是平方收敛的若记其中,则有因此可见,当,即时,迭代法是收敛的设在单根附近具有二阶连续导数,则对充分接近的初值,迭代法产生的序列收敛于,并且定理取,计算结果如下例用迭代法求方程在附近的根,精度要求解迭代格式为的近似值,要求。ƒ从结果可见,迭代法迭代次已获得精确到小数点后五位的近似解,迭代次已获得精确到小数点后八位的近似解与例比较可见迭代法收敛的确实快例用迭代法求解对方程应用迭代法取，计算得迭代法的变形简化迭代法所以取如第章解非线性方程的迭代法本章讨论求非线性方程的根的问题。其中是高次多项式函数或超越函数。如果存在，使得，则称是方程的根,等等。或称是函数的零点。如果满足,其中在处连续且,称是方程的重根。如果方程在区间,上有根,则称,为方程的有根区间。若在处充分可导,则是的重根等价于,设在区间,上连续且,根据连续函数的介值定理,区间,上必有方程的根。如果函数在区间,上又是单调的,则方程在区间,上有唯根。时,称是方程的单根。简单迭代法的般形式简单迭代法首先把方程改写成等价同解形式得到迭代序列,如果,取个合适的初始值，然后作迭代这种求方程根的方法称为简单迭代法，或逐次逼近法。则有,即是方程的根。其中称为迭代函数,式称为迭代格式。若迭代序列收敛,则称简单迭代法是收敛的。,建立迭代格式解改写原方程为等价方程求方程在,内的根例如果取初值,计算得由计算结果有,因此可取。方程也可改写成,建立迭代格式仍取初值,则有,可见,,此迭代格式是发散的。简单迭代法的收敛条件及收敛阶首先，对任意初值应使产生的序列即的值域落在定义域内。另外,从几何上看,定理设迭代函数且满足则迭代格式,,都收敛于方程在区间,的唯根，且可见,充分小可保证充分小,,要使,只要证记,则,于是有,由的连续性,必存在,使,即,又,所以的根唯。求方程在附近的根,精度要求。解可以验证方程在区间,内仅有个根。例改写方程为,建立迭代格式