1、由函数的性利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当不含参数时,解不等式或直接得到单调递增或递减区间当含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论若可导函数在指定的区间上单调递增减,求参数范围问题,可转化为或恒成立问题,从而构建不等式,要注意是否可以取到考点考点考点知识方法易错易混对点训练浙江嘉兴质检已知函数当时,求函数的单调区间若函数在,上为单调函数,求实数的取值范围𝑥−𝑥令,。
2、利用导数研究函数极值的般流程导数与函数的单调性极值最值考纲要求了解函数的单调性与导数的关系能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间其中多项式函数不超过三次了解函数在点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值极小值其中多项式函数不超过三次会求闭区间上函数的最大值最小值其中多项式函数不超过三次导函数的符号和函数的单调性的关系如果在个区间内,函数的导数,则在这个区间上,函数是增加的如果在个区间内。
3、不是单调函数答案解析解析关闭因导数大于的区间是函数的增区间,导数小于的区间是函数的减区间,所以由图像可知在区间,上,故在区间,上是增函数答案解析关闭函数的最小值是不存在答案解析解析关闭𝑥𝑥𝑥,且令,得令,得故在时取得最小值答案解析关闭如图是的导函数的图像,则的极小值点的个数为答案解析解析关闭由题意知在处,且其左右两侧导数符号为左负右正答案解析关闭若函数在,上是增加的,则实数的取值范围是答案解析解析关。
4、对于方程的每个解,分析在左右两侧的符号即的单调性,确定极值点若在两侧的符号“左正右负”,则为极大值点若在两侧的符号“左负右正”,则为极小值点若在两侧的符号相同,则不是极值点函数的最值与导数最大值点函数在区间,上的最大值点指的是函数在这个区间上所有点的函数值都不超过函数的最小值点也有类似的意义函数的最大值最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得最值函数的最大值和最小值统称为最值求在,上的最大值和最小值。
5、得最小值答案解析关闭如图是的导函数的图像,则的极小值点的个数为答案解析解析关闭由题意知在处,且其左右两侧导数符号为左负右正答案解析关闭若函数在,上是增加的,则实数的取值范围是答案解析解析关闭,且在区间,上是增函数,则在,上恒成立,即在,上恒成立故答案解析关闭,自测点评函数在区间,上递增,则,“在,上成立”是“在,上单调递增”的充分不必要条件对于可导函数,是“函数在处有极值”的必要不充分条件如函数在处导数为。
6、,函数的导数,则在这个区间上,函数是减少的函数的极值与导数函数的极大值点和极大值在包含的个区间,内,函数在任何点的函数值都小于点的函数值,称点为函数的极大值点,其函数值为函数的极大值函数的极小值点和极小值在包含的个区间,内,函数在任何点的函数值都大于点的函数值,称点为函数的极小值点,其函数值为函数的极小值极值和极值点极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点求可导函数极值的步骤求出导数解方程。
7、得或,即或令,则令,则的递增区间是,递减区间是,解当时,𝑥−𝑥−考点考点考点知识方法易错易混𝑥𝑥,令,由于,令𝑡𝑡𝑡−𝑡𝑡𝑡,当,时函数为单调增函数故在,上的极小值点为又,函数在,上为单调函数,若函数在,上单调递增,则𝑡𝑡对,恒成立,考点考点考点知识方法易错易混所以若函数在,上单调递减,则𝑡𝑡对,恒成立,所以,综上可得的取值范围是,,考点考点考点知识方法易错易混考点利用导数研究。
8、函数的极值例天津模拟已知函数求的单调区间与极值若函数在区间,上单调递减,求实数的取值范围解函数的定义域为,,𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑥当时,所以的单调递增区间为,,此时无极值当时,令,得𝑎或𝑎舍去考点考点考点知识方法易错易混的单调递增区间为单调递减区间为𝑎,,所以有极大值为𝑎,无极小值当时,令,得𝑎舍去或𝑎,所以的单调递增区间为单调递减区间为𝑎,,所以有极大值为𝑎𝑎−,。
9、件函数的极大值不定比极小值大函数的最大值不定是极大值,函数的最小值也不定是极小值如图是函数的导函数的图像,则下面判断正确的是在区间,上是增加的在区间,上是减少的在区间,上是增加的在区间,上不是单调函数答案解析解析关闭因导数大于的区间是函数的增区间,导数小于的区间是函数的减区间,所以由图像可知在区间,上,故在区间,上是增函数答案解析关闭函数的最小值是不存在答案解析解析关闭𝑥𝑥𝑥,且令,得令,得故在时取。
10、零,但不是函数的极值点求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系考点考点考点知识方法易错易混考点利用导数研究函数的单调性例兰州张掖联考已知函数其中的函数图像在点,处的切线平行于轴确定与的关系若,试讨论函数的单调性思考如何利用导数的方法研究函数的单调性解依题意,得,则𝑥。
11、的步骤如下求在,内的极值将的各极值与,比较,其中最大的个是最大值,最小的个是最小值下列结论正确的打,错误的打“”已知函数在,内可导,则是为增函数的充要条件函数在区间上或定义域内极大值是唯的对可导函数,是点为极值点的充要条件函数的极大值不定比极小值大函数的最大值不定是极大值,函数的最小值也不定是极小值如图是函数的导函数的图像,则下面判断正确的是在区间,上是增加的在区间,上是减少的在区间,上是增加的在区间,上。
12、无极小值考点考点考点知识方法易错易混由可知当时,在区间,上单调递增,不合题意当时,的单调递减区间为𝑎,,依题意,得𝑎,得当时,的单调递减区间为𝑎,,依题意,得𝑎,即综上,实数的取值范围是,,考点考点考点知识方法易错易混思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系解题心得可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在左侧与右侧的符号不同若函数在区间,内有极值,那么在,内绝不是单调函数,即在区间上单调函数没有极值。
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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 理 北师大版