当且仅当故此时在上是增函数由于，故当时，有两个根，若，则当，或，时故在，上是增函数当，时故在，上是减函数若时，则当，或，时故分别在，上是减函数当，时故在，上是增函数当，时所以当时，在区间，是增函数若时，在区间，是增函数当且仅当且，解得综上，的取值范围是，，利用导数研究函数的单调性的般思路确定函数的定义域求导数若求单调区间或证明单调性，只需在函数的定义域内解或证明不等式或若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解已知函数其中若在处取得极值，求的值求的单调区间解析，在处取得极值即，解得，当时，在区间，上的单调递增区间为，当时，由解得，由解得，的单调递减区间为单调递增区间为，例四川卷已知函数，其中，，„为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间，上的最小值若，函数在区间，内有零点，证明思路点拨易得再对分情况确定的单调区间，根据在，上的单调性即可得在，上的最小值设为在区间，内的个零点，注意到，联系到函数的图象可知，导函数在区间，内存在零点，在区间，内存在零点，即在区间，内至少有两个零点由可知，当及时，在，内都不可能有两个零点所以此时，在，上单调递减，在，上单调递增，因此且必有，由得，代入这两个不等式即可得的取值范围解析，当时所以当时，由得，若，则若，则所以当时，在，上单调递增，所以当，在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，在，上单调递减，所以综上所述，当时，在，上的最小值是当时，时，在，上的最小值是当时，在，上的最小值是证明设为在区间，内的个零点，则由可知，在区间，上不可能单调递增，也不可能单调递减则不可能恒为正，也不可能恒为负故在区间，内存在零点同理在区间，内存在零点所以在区间，内至少有两个零点由知，当时，在，上单调递增，故在，内至多有个零点当时，在，上单调递减，故在，内至多有个零点所以此时，在，上单调递减，在，上单调递增，因此，必有，由得，有，解得所以，函数在区间，内有零点时，利用导数研究函数的极值的般思路确定定义域求导数若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值，当根中有参数时要注意分类讨论若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解已知函数，求的单调区间和极值若对于任意的，，都存在，，使得，求的取值范围分析求出函数的导数与零点，利用导数法求解函数的单调性和极值求出函数的零点，然后分类讨论求解解析由已知，有令，解得或当变化时的变化情况如下表所以的单调递增区间是单调递减区间是，当时，有极小值，且极小值当时，有极大值，且极大值由及知，当，时当，时，设集合，，集合，，，则“对于任意的，，都存在，，使得”等价于⊆显然，∉下面分三种情况讨论当，即时，由可知，，而∉，所以不是的子集当，即时，有，且此时在，上单调递减，故因而⊆由，有在，上的取值范围包含则，⊆所以⊆当，即时，有，且此时在，上单调递减，故所以不是的子集综上，的取值范围是，例由直线曲线及轴所围图形的面积为思路点拨本题可以根据已知先作出四线围成的图形，求得图形顶点坐标，再结合定积分的几何意义，将面积计算转化为定积分的计算利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，而求个函数的原函数与求个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握些常见函数的导数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质，根据函数的定义域，将积分区间分为几部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可求平面图形的面积是定积分最重要的应用之，其基本步骤是根据题意画出图形找出范围，定出积分上下限确定被积函数写出相应的定积分表达式用微积分基本定理计算定积分，求得结果由曲线和直线，，所围成的图形阴影部分的面积的最小值为明确函数导数的几何意义，即曲线在，处切线的斜率是熟练掌握导数的四则运算注意曲线与直线相切并不定只有个公共点不能随意将直线和圆锥曲线相切时仅有个公共点迁移过来明确函数的极值表示函数在点附近的情况，即极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值或极小值可有若干个，而且有时个极小值会大于它的个极大值在般情况下，极大小值不定是最大小值，最大小值也不定是极大小值，但如果连续函数在区间，内只有个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值能根据函数的图象确定函数的单调区间和函数的极值或最值，反之，能根据函数的单调性与极值等画出函数的草图随堂讲义专题集合常用逻辑用语函数与导数第四讲导数及其应用导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性方程的零点不等式及实际问题形成知识的交汇问题，难度较大预测年的高考，可能出求导法则切线问题的小题，还有压轴的综合题例已知函数求证曲线在处的切线过点若函数在处取得极小值，求实数的取值范围思路点拨求出函数在处的导数和的值，结合直线的点斜式方程，可求切线方程先通过讨论导数的零点存在性，得出使函数有极小值的实数的大致取值范围，然后通过极小值所对应的点得到关于实数的不等式，解不等式，得出取值范围解析，故在处切线的斜率又，切线方程为，即当，时故曲线在处的切线过点，由，得，当，即时，函数没有极值当，即时，由，得，故时，式无解实数的取值范围是，求曲线切线方程的步骤是求出函数在点的导数，即曲线在点，处切线的斜率在已知切点坐标，和切线斜率的条件下，求得切线方程为注意当曲线在点，处的切线平行于轴此时导数不存在时，由切线定义可知，切线方程为当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解已知函数求的极小值和极大值当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围解析，令，解得或当，单调递增当时，单调递减是极小值点，是极大值点又，故的极小值为，极大值为设切点为则切线方程为，令，解得曲线的切线的斜率为负数，令，则当，即，在，上单调递增，时，令，解得，当时，函数单调递增当时，函数单调递减故当时，函数取得极小值，也即最小值且综上所述，切线在轴上截距的取值范围是，，例全国大纲卷函数讨论函数的单调性若函数在区间，是增函数，求的取值范围思路点拨首先求出函数的导数，然后求出或的解集即可分类讨论在区间，上使成立的条件，并求出参数的取值范围即可解析，的判别式若，则，且当且仅当故此时在上是增函数由于，故当时，有两个根，若，则当，或，时故在，上是增函数当，时故在，上是减函数若时，则当，或，时故分别在，上是减函数当，时故在，上是增函数当，时所以当时，在区间，是增函数若时，在区间，是增函数当且仅当且，解得综上，的取值范围是，，利用导数研究函数的单调性的般思路确定函数的定义域求导数若求单调区间或证明单调性，只需在函数的定义域内解或证明不等式或若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解已知函数