,如图当线段垂直于轴时的坐标分别为所以𝑚,所以当线段与轴不垂直时,设直线的斜率为,则直线的方程为由𝑦𝑘𝑥𝑚得𝑝𝑘,所以,两点的纵坐标的积为由题知,所以综上所述,抛物线的方程为设由可得𝑘,所以𝑦𝑦𝑘,𝑦𝑦由,得把代入𝑦𝑦𝑘得𝑦𝑘消去,得所以直线的方程为应用两杆各绕点,和,旋转,且它们在轴上的截距分别是和,且为常数试求旋转杆的交点的轨迹方程提示点是两条直线的交点,可分别求出两条直线的方程,再利用关系式消去,即可求得点的轨迹方程解参数法如图所示,设点的坐标为则两杆所在直线方程分别为𝑏𝑎把两式相乘得𝑏𝑏𝑎,把代入得,即所求点的轨迹方程为专题二圆锥曲线的定义性质椭圆抛物线双曲线的定义标准方程几何图形及简单的几何性质是本章的基础对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意识,“回归定义”是种重要的解题策略如在求轨迹时,若所求轨迹符合种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨迹方程涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决应用,是椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的两焦点,是椭圆上任点,从任焦点引的外角平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹为圆椭圆双曲线抛物线解析延长垂线交的延长线于点,如图所示,则是等腰三角形从而是的中点,是的中点,连接,点的轨迹是以原点为圆心,半径为的圆答案应用设,是椭圆的两个焦点,为椭圆上的点,已知是个直角三角形的三个顶点,且,求的值提示要求的值,可考虑利用椭圆的定义和为直角三角形的条件,求出与的值但的直角顶点不确定,故需要分类讨论解由题意知则,即由椭圆的定义,知,若为直角,则,即,即解得,所以若为直角,则,即,解得或,舍去所以应用已知双曲线的焦点在轴上,离心率为为左右焦点为双曲线上点,且求双曲线的标准方程提示要求双曲线的标准方程,可设出方程−关键是求,的值,在中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组,从而求出由此得由于,都是方程的根,且,所以,所以解得或舍去所以解得因为,所以中点弦问题应用求以,为中点的抛物线的弦所在直线的方程提示要求过点,的弦所在的直线方程,只需求出斜率即可,用“点差法”求直线的斜率解设弦的两端点分别为则,由得,由,得,将代入上式可得弦所在直线的方程为,即专题四综合问题由于解析几何是通过代数运算来解决几何问题,而圆锥曲线又以其独特的性质成为研究的重点,这就使圆锥曲线的性质与函数,不等式,数列,三角变换,平面向量等知识联系密切,以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强,能力要求最高的高考考点之应用如图,已知两点分别在轴和轴上运动,并且满足,求动点的轨迹方程设过点的直线与点的轨迹交于,两点,且已知求直线,的斜率之和提示表示三点共线,若设则可用点的坐标表示点,的坐标,再利用,可求出点的轨迹方程设出过点的直线方程,与点的轨迹方程联立,用元二次方程根与系数的关系求解解设则,因为,所以,即,从而,由点得,又,则,即所以点的轨迹方程为设过点的直线方程为联立方程消去,得所以,又所以由,得即直线,的斜率之和为应用已知两点且点使成公差小于零的等差数列点的轨迹是什么曲线若点的坐标为为与的夹角,求提示向量用坐标表示,把两向量的夹角转化为两直线所成的角,用数形结合法解题解设点由得于是成公差小于零的等差数列等价于,点的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆不含端点点的坐标为则,𝜋𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠应用已知以原点为中心为右焦点的双曲线的离心率求双曲线的标准方程及其渐近线方程如图所示,已知过点,的直线与过点,其中的直线的交点在双曲线上,直线与两条渐近线分别交于,两点,求的面积解设的标准方程为−,则由题意得因此的标准方程为的渐近线方程为,即和如题图所示,由题意,点,在直线和上,因此有故点,均在直线上,因此直线的方程为设,分别是直线与渐近线及的交点,由方程组,及解得,设与轴的交点为,则在直线中,令得注意到,得本章整合圆锥曲线与方程椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点专题求动点的轨迹方程主要方法有直接法定义法代入法待定系数法参数法等直接法建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为,间的关系,即得轨迹方程定义法当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程代入法若动点,依赖于已知曲线上另个点,而运动时,可用,来表示再代入已知曲线方程,即可求出轨迹方程待定系数法若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”参数法当直接建立,间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找出,间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程应用已知点动点满足,求动点的轨迹方程提示若设由,可以转化为直线,的斜率之间的关系,可以直接求出点的轨迹方程解直接法设,当在轴上方时,,如图所示则𝑦𝑥,𝑦𝑥𝛼将𝑦𝑥代入式得𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥,有或𝑦又当时,为等腰直角三角形,点也在曲线上,当点为线段的分点时,满足,是点的轨迹方程当在轴下方时,为直线的倾斜角,直线的倾斜角为,同理可得上述方程综上,点的轨迹方程为𝑦和应用动圆过定点且与定圆相切,求动圆圆心的轨迹方程动圆过定点且与定圆相切,求动圆圆心的轨迹方程解定义法设动圆的圆心为定圆的圆心为则由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是𝑥𝑦设动圆的圆心为定圆的圆心为则由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程是𝑦应用已知是抛物线上任点,是原点,以线段为边按逆时针方向作正方形,当点在抛物线上移动时,求点的轨迹方程提示本题实质是线段逆时针旋转,联想到用向量的运算来解决解代入法如图所示,设点点由题意𝑂𝑃𝑂𝑅,𝑂𝑃𝑂𝑅设则有𝑂𝑃由向量相等的条件,有𝑥𝑦即𝑥,𝑦点,在抛物线上即为所求的点的轨迹方程应用线段过点,并且点,到轴的距离之积为,抛物线以轴为对称轴且经过三点求抛物线的方程当,时,求直线的方程解待定系数法由题意可设抛物线的方程为,如图当线段垂直于轴时的坐标分别为所以𝑚,所以当线段与轴不垂直时,设直线的斜率为,则直线的方程为由𝑦𝑘𝑥𝑚得𝑝𝑘,所以,两点的纵坐标的积为由题知,所以综上所述,抛物线的方程为设由可得𝑘,所以𝑦𝑦𝑘,𝑦𝑦由,得把代入𝑦𝑦𝑘得𝑦𝑘消去,得所以直线的方程为应用两杆各绕点,和,旋转,且它们在轴上的截距分别是和,且为常数试求旋转杆的交点的轨迹方程提示点是两条直线的交点,可分别求出两条直线的方程,再利用关系式消去,即可求得点的轨迹方程解参数法如图所示,设点的坐标为则两杆所在直线方程分别为𝑏𝑎把两式相乘得