面,的法向量分别为则⇔⇔,探究求平面的法向量求平面的法向量般用待定系数法,其方法步骤如下选向量在平面内选两相交向量𝐴𝐵,𝐴𝐶设法向量的坐标设平面法向量解方程联立方程组𝑛并解答定结论设定个坐标为常数而得到其他坐标典型例题四边形是直角梯形,,⊥平面,求平面和平面的法向量思路分析解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量探究探究二探究三探究四探究探究二探究三探究四解是三条两两垂直的线段,以为原点,以𝐴𝐷𝐴𝑆的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则,𝐴𝐷是平面的法向量探究探究二探究三探究四设平面的法向量为,则题如图,在正方体中分别是,的中点求证平面求证平面平面探究探究二探究三探究四证明以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则可求得,于是𝑀𝑁𝐷𝐵探究探究二探究三探究四设平面的法向量,则𝐷𝐴且𝐷𝐵,得𝑥𝑧取,得,故又𝑀𝑁,故𝑀𝑁⊥又⊄平面,因此平面探究探究二探究三探究四由知,则𝐷𝐵,设平面的个法向量为则𝑚,即𝑥𝑦令,则,故从而,即又∉平面,故平面平面探究探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点混淆直线与平面平行和向量与平面平行的含义致误典型例题已知是平面的个法向量,是直线的个方向向量,若则与的位置关系是错解,⊥错因分析忽略了直线与平面平行和向量与平面平行的区别,直线与平面平行,直线定在平面外,向量与平面平行,向量对应的直线可在平面内正解,⊥或⊂答案或⊂若,在直线上,则直线的个方向向量为解析与向量𝐴𝐵共线的向量都是直线的方向向量𝐴𝐵选项中与𝐴𝐵共线的向量只有向量故选答案设平面的法向量为,平面的法向量为,若,则等于解析答案直线的个方向向量和平面的个法向量分别是则直线与平面的位置关系是⊥或⊂无法判断解析,⊥或⊂答案已知直线,的方向向量分别为若,则解析,𝜆𝑥𝜆,解得答案在正方体中,各棱对应的向量可作为面的法向量的个数为解析可以作面的法向量的有𝐴𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶,𝐷𝐷共个答案立体几何中的向量方法第课时用向量方法解决平行问题课程目标学习脉络理解直线的方向向量与平面的法向量的意义,会用待定系数法求平面的法向量能用向量方法解决线线,线面,面面的平行关系问题直线的方向向量与平面的法向量空间中任意条直线的位置可以由上个定点以及个向量确定这个向量叫做直线的方向向量直线垂直于平面,取直线的方向向量,则向量叫做平面的法向量思考条直线的方向向量和个平面的法向量各有多少个提示条直线的方向向量有无数多个,它们都是共线向量个平面的法向量也有无数多个,它们也都是共线向量思考设是平面内不共线的三点,那么向量是平面的法向量的充要条件是什么提示⊥𝐴𝐵且⊥𝐴𝐶这点可以由直线与平面垂直的判定定理来说明空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线,的方向向量分别为则⇔⇔,线面平行设直线在平面外,且的方向向量为,的法向量为,则⇔⇔面面平行设两个不重合的平面,的法向量分别为则⇔⇔,探究求平面的法向量求平面的法向量般用待定系数法,其方法步骤如下选向量在平面内选两相交向量𝐴𝐵,𝐴𝐶设法向量的坐标设平面法向量解方程联立方程组𝑛并解答定结论设定个坐标为常数而得到其他坐标典型例题四边形是直角梯形,,⊥平面,求平面和平面的法向量思路分析解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量探究探究二探究三探究四探究探究二探究三探究四解是三条两两垂直的线段,以为原点,以𝐴𝐷𝐴𝑆的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则,𝐴𝐷是平面的法向量探究探究二探究三探究四设平面的法向量为,则,又,即为平面的法向量探究探究二探究三探究四探究二利用空间向量处理线线平行问题证明空间两直线平行的思路把证明空间两直线平行的问题转化为判断空间两直线的方向向量共线的问题在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的坐标利用空间向量证明线线平行的方法步骤建立适当的空间