1、等于同底边而高为的个矩形的面积。区间上的平均值在是,胰岛素平均浓度的测定例由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度单位为其中,时间的单位是分钟，求血液中的胰岛素在小时内的平均浓度判断患者染料稀释法确定心输出量例心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。假定在时刻时注入的染料，自染料注入后便开始。

2、元积分法凑分法例，则，令形如，例或，令形如,被积函数中含有三角函数的积分般需要作三角恒等变形例积化和差公式,通过变量代换般要求是单调的且有连续的导数把积分转化为个易于计算的积分这种换元的方法第二类换元法称为第二类换元积分法第四节定积分的应用微元法平面图型的面积旋转体的体积定积分在医药学上的应用定积分的应用回顾曲边梯形求面积的问题定积分的元素法问题的提出曲边梯形由连续曲线轴与两条直线所围成。微元法面积表示为定积分的步骤如下。

3、,特别地当曲边梯形的曲边由给出时则此曲边梯形的参数方面积为程其中和是对应于曲线的起点及终点的参数值画出草图，便于合理选择积分变量重要环节求出交点坐标，以便确定积分上下限写出微元大减小即上减下，右减左关键环节以微元为被积表达式，求起点至终点的定积分。平面图形面积小结若图形是几条曲线所围成,则需分成若干块,然后分别求出其面积,再相加旋转体就是由个平面图形饶这平面内条直线旋转周而成的立体，这直线叫做旋转轴。圆柱圆锥圆台二旋转体的体积般地，如果旋转体是由连续曲线直线。

4、量要求求解的般步骤根据问题的具体情况，选取个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间,设想把区间,分成个小区间，取其中任小区间并记为求出相应于这小区间的部分量的近似值如果能近似地表示为,上的个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的微元且记作，即应用平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长功水压力引力和平均值等。求解的般步骤以所求量的微元为被积表达式，在区间,上作定积分，得即为所求量的积分表达式。这种方法叫做微元法。平面图形的面积由曲线及直线所围成的平面图形的面积为,由曲线及直线所围。

5、直线旋转周而成的立体，这直线叫做旋转轴。圆柱圆锥圆台二旋转体的体积般地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转周而成的立体，体积为多少般地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转周而成的立体，体积为多少取积分变量为在,上任取小区间,，取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为类似地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转周而成的立体，体积为例连接坐标原点及点,的直线直线及轴围成个直角三角形将它绕轴旋转构成个底。

6、区间,分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则面积表示为定积分的步骤如下计算的近似值,求和，得的近似值求极限，得的精确值提示若用表示任小区间,上的窄曲边梯形的面积，则，并取，于是面积元素当所求量符合下列条件是与个变量的变化区间,有关的量对于区间,具有可加性，就是说，如果把区间,分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和部分量的近似值可表示为就可以考虑用定积分来表达这个。

7、在外周动脉中连续秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数当或当注入染料的量与在秒之内测到的平均浓度的比值是半分钟里心脏泵出的血量因此每分钟的心输出量是这比值的倍即试求这试验中的心输出量当或当解因此脉管稳定流动时血流量的测定其中为血液粘滞系数求单位时间流过该横载面流量血液流速和横截面的乘积例设有半径为，长为的段刚性血管，两端的血压分别为和，已知在血管的横载面上离血管中心处的血流速度。

8、泊肃叶定律微元法平面图型的面积旋转体的体积定积分在医药学上的应用相关习题习题定积分的应用小结第三章元函数的积分学复习不定积分定积分定积分的应用为积分常数称,函数的全体原函数称为的记为不定积分的定义其中称为被积函数称为被积式不定积称为积分变量是积分号分不定积分的几何意义积分曲线函数的个原函数，在几何上表示的是条曲线，称为积分曲线。其方程为积分曲线族的不定积分在几何上表示的是积分曲线上下平移所得到的簇曲线，称为其方程为若上公式右边比左边简单且能够积第类换则称为元积分法。

9、求椭圆所围成的面积例解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于倍第象限部分面积,特别地当曲边梯形的曲边由给出时则此曲边梯形的参数方面积为程其中和是对应于曲线的起点及终点的参数值画出草图，便于合理选择积分变量重要环节求出交点坐标，以便确定积分上下限写出微元大减小即上减下，右减左关键环节以微元为被积表达式，求起点至终点的定积分。平面图形面积小结若图形是几条曲线所围成,则需分成若干块,然后分别求出其面积,再相加旋转体就是由个平面图形饶这平面内条。

10、半径为高为的圆锥体，计算圆锥体的体积解取积分变量为在,上任取小区间,，直线方程为求微元以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为圆锥体的体积,求由以及轴所围成的图形绕两坐标轴旋转所例得的体积,求由以及轴所围成的图形绕两坐标轴旋转所例得的体积,三定积分在医学中的应用举例如果函数在闭区间,上连续，则在积分区间,上至少存在个点在区间,上至少存在个点，积分中值公式的几何解释使得以区间,为以曲线底边，为曲边的曲边梯形的面。

11、的平面图形理的面积为同平面图形的面积求由抛物线与直线所围成的图形的面积例画图解求交点为积分变量选求面积微元求面积求抛物线与直线所围成的图形的面积例求交点画图解为积分变量选为积分变量选求椭圆所围成的面积例解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于倍第象限部分面积。

12、分第类换元积分法凑分法变性可知则由阶微分的形式不所以,若令可表示为被积函数是复合函数且，键是找中间变量第类换元积分法的关从而，使被积表达式中出现积分公式中的形式使被积表达式变成基本法形式，所以称为凑微分凑成了个函数的微分熟练以后，可以不写出第类换元积分方法的关键在于找中间变量即将被积表达式凑成函数的微分形式然后利用性质求出全体小原函数结例第类换元积分法小结，则，令形如，则，令形如，则，令形如例第类换。

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