此性质可用来解不等式或证明不等式基本不等式定理设，，则当且仅当时，等号成立定理如果，为正数，则，当且仅当时，等号成立定理如果为正数，则，当且仅当时，等号成立柯西不等式设，为实数，则，当且仅当时等号成立若，为实数，则当且仅当„，或存在个数，使得„，时，等号成立柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，则，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立不等式的性质，特别是基本不等式链，在不等式的证明和求最值中经常用到证明不等式的传统方法有比较法综合法分析法另外还有拆项法添项法换元法放缩法反证法判别式法数形结合法等例已知函数当时，求不等式的解集若的解集包含求的取值范围热点绝对值不等式微题型考查绝对值不等式的解法解当时，，当时，由得，解得当时，无解当时，由得，解得所以的解集为，或⇔当，时，⇔⇔由条件得且，即故满足条件的的取值范围是，探究提高用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点划区间去绝对值号分别解去掉绝对值的不等式取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值用图象法数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是种较好的方法微题型含有绝对值不等式的恒成立问题例已知，不等式的解集为求的值若，由于，因此只需证明即证，而，故需证明即证而这可以由当且仅当时等号成立证得原不等式成立由于中已证因此要证原不等式成立，只需证明即证，即证而时等号成立原不等式成立探究提高证明不等式常用的方法有比较法综合法分析法反证法放缩法数学归纳法等训练已知函数，，且的解集为，求的值若大于，且，求证解，等价于由有解，得且其解集为又的解集为故证明由知，且大于，当且仅当时，等号成立因此热点三柯西不等式例陕西卷已知关于的不等式的解集为求实数，的值求的最大值解由，得，则解得当且仅当，即时等号成立，故探究提高根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式训练福建卷已知，函数的最小值为求的值求的最小值解因为，当且仅当时，等号成立又所以所以的最小值为又已知的最小值为，所以由知，由柯西不等式得，即当且仅当，即时等号成立故的最小值为证明绝对值不等式主要有三种方法利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明利用三角不等式进行证明转化为函数问题，数形结合进行证明研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法恒成立⇔恒成立⇔分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每步必须可逆高考定位该部分主要有三个考点，是带有绝对值的不等式的求解二是与绝对值不等式有关的参数范围问题三是不等式的证明与运用对于带有绝对值不等式的求解，主要考查形如或及或的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法试题多以填空题或解答题的形式出现对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法函数的值域等问题结合，试题多以解答题为主对于不等式的证明问题，此类问题涉及到的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现真题感悟山东卷不等式的解集是，，解析由绝对值的几何意义知，表示数轴上的点到点和点的距离之差当时当时重庆卷若函数的最小值为，则实数解析由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合适若，则，或，经检验合题意，因此或答案或全国Ⅰ卷已知函数当时，求不等式的解集若的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围解当时化为当时，不等式化为，无解当，解得，解得所以的解集为所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为的面积为由题设得，故所以的取值范围为，考点整合含有绝对值的不等式的解法⇔或⇔和型不等式的解法法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想法二利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想法三通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想绝对值三角不等式此性质可用来解不等式或证明不等式基本不等式定理设，，则当且仅当时，等号成立定理如果，为正数，则，当且仅当时，等号成立定理如果为正数，则，当且仅当时，等号成立柯西不等式设，为实数，则，当且仅当时等号成立若，为实数，则当且仅当„，或存在个数，使得„，时，等号成立柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，则，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立不等式的性质，特别是基本不等式链，在不等式的证明和求最值中经常用到证明不等式的传统方法有比较法综合法分析法另外还有拆项法添项法换元法放缩法反证法判别式法数形结合法等例已知函数当时，求不等式