1、立热点二存在与恒成立问题例已知函数若对任意存在使求实数的取值范围解，由得，∉当，时函数单调递减，当，时函数单调递增所以在，上的最小值为由于“对任意存在使”等价于“在，上的最小值不大于在，上的最小值”，又，对称轴为，所以当时，因为，此时与矛盾当，时，因为，同样与矛盾当，时，因为，解不等式，可得综上，可得的取值。

2、为证明，进而构造辅助函数构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项通分取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数主元法对于或可化为，的不等式，可选或为主元，构造函数，或，第讲导数与不等式的证明存在性及恒成立问题高考定位在高考试题压轴题中，函数与不等式交汇的试题是考查的。

3、，，，则有由得，解得，当，时故在，内单调递增从而当，时即综上，的取值范围是，探究提高求解曲线的切线问题的关键是切点的横坐标，得出切点后既可以得出切点的纵坐标，也能得出切线的斜率在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明例已知函数，讨论函数的单调区间若函。

4、于，所以故当时，考点整合证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或，从而利用求的最小值或最大值来证明不等式关于恒成立问题可以转化为求函数的最值般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可不等式的恒成立与能成立问题对切恒成立⇔是的解集的子集⇔对能成立⇔与的解集的交集不是空集⇔对∀，使得⇔对∀，∃使得⇔例福建卷。

5、证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明例已知函数，讨论函数的单调区间若函数在处取得极值，对∀，，恒成立，求实数的取值范围设，若对∀，，恒成立，求的取值范围微题型不等式恒成立求参数范围问题解在区间，上当时，恒成立，在区间，上单调递减当时，令得，在区间。

6、点，类是利用导数证明不等式，另类是存在性及恒成立问题真题感悟全国Ⅰ卷设函数讨论的导函数零点的个数证明当时，解的定义域为，当时，没有零点当时，因为单调递增，单调递增，所以在，上单调递增又，当满足时，存在唯零点证明由，可设在，上的唯零点为，当，时，故在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。

7、围是，探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系若恒成立，则若恒成立，则若有解，则若有解，则训练秦皇岛模拟已知函数为常数若是函数的个极值点，求的值当时，试判断的单调性若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围解由已知得，所以，所以当时，。

8、因为，所以，而，即，故在，上是增函数当，时，由知，在，上的最小值为，故问题等价于对任意的不等式恒成立，即恒成立记，则令，则，所以在，上单调递减，所以，故，所以在，上单调递减，所以，即实数的取值范围为，利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法分离参数法第步将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题第。

9、，证明令，，则有当，时所以在，上单调递减，故当时即当时，解由知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，令，，，则有由得，解得，当，时故在，内单调递增从而当，时即综上，的取值范围是，探究提高求解曲线的切线问题的关键是切点的横坐标，得出切点后既可以得出切点的纵坐标，也能得出切线的斜率在。

10、，上函数单调递减，在区间，上函数单调递增综上所述当时，的单调递减区间是，，无单调递增区间当时，的单调递减区间是单调递增区间是，因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验可知满足题意由已知，即，即对∀，恒成立，令，则，易得在，上单调递减，在，上单调递增，所以，即故结论。

11、知函数求函数的单调递增区间证明当时确定实数的所有可能取值，使得存在，当，时，恒有热点导数与不等式微题型利用导数证明不等式解，，由得，解得故的单调递增区间是，证明令，，则有当，时所以在，上单调递减，故当时即当时，解由知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，。

12、步利用导数求该函数的最值第三步根据要求得所求范围函数思想法第步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题第二步利用导数求该函数的极值最值第三步构建不等式求解利用导数证明不等式的基本步骤作差或变形构造新的函数利用导数研究的单调性或最值根据单调性及最值，得到所证不等式构造辅助函数的三种方法移项法证明不等式的问题转。

参考资料：

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