是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的填“内心”“外心”“重心”或“垂心”解析由原等式，得，即，根据平行四边形法则，知是的中线为的中点重心所对应向量的倍，所以点的轨迹必过的重心题型向量在平面几何中的应用解析答案引申探究在本例中，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分，即平分，所以点的轨迹必过的内心内心解析答案思维升华在平行四边形中，为的中点若，则跟踪训练解析答案平面四边形中，则四边形的形状是解析⇒⇒平面四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形菱形解析答案例已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为解析且，解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即题型二向量在解析几何中的应用解析答案设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则解析，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即解析答案思维升华已知圆，圆，过圆上任意点作圆的两条切线切点分别为则的最小值是跟踪训练解析答案例已知，满足，若且的最大值是最小值的倍，则实数的值是题型三向量的综合应用解析答案函数在个周期内的图象如图所示，分别是最高点最低点，为坐标原点，且，则函数的最小正周期是解析由图象可知，所以解得，所以函数的最小正周期是解析答案思维升华已知在平面直角坐标系中，动点，满足不等式，则的最大值为即点的轨迹是抛物线抛物线解析答案在所在平面上有点，满足，则与的面积的比值是解析由题意可得，所以是线段的三等分点靠近点，易知，即∶∶解析答案解析答案在中，则边的长度为解析由题意画示意图，作⊥，垂足为，如图表示在上的投影为，即的长为表示在上的投影为，即的长为，故边的长度为若函数在个周期内的图象如图所示分别是这段图象的最高点和最低点，且为坐标原点，则解析由题意知又，解析答案已知在中，则解析为钝角，又，，解析答案单位圆上三点满足，则向量，的夹角为，解析为单位圆上三点，又，可得，向量，的夹角为解析答案设点是的外心，则解析答案解析答案设向量其中，，已知函数的最小正周期为求的值解，因为，所以，若是关于的方程的根，且求的值解方程的两根为，因为所以解析答案所以，即又由知，所以已知向量，当时，求的值解因为，所以，所以解析答案设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求，的取值范围解析答案已知平面上不共线的四点若，则解析答案解析由，得，所以，所以，即已知，且关于的函数在上有极值，则向量与的夹角的范围是解析答案已知向量若为锐角，则实数的取值范围是解析答案在梯形中，为梯形所在平面上点，且满足为边上的个动点，则的最小值为解析答案在中，设内角的对边分别为，向量向量若，，求内角的大小解解析答案若，且，求的面积解析答案返回解由余弦定理知，即，解得第五章平面向量平面向量应用举例内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析审题路线图系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习向量在平面几何中的应用用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行点共线等问题共线向量定理⇔⇔，其中知识梳理答案垂直问题数量积的运算性质⊥⇔⇔，其中且，为非零向量夹角问题数量积的定义为向量，的夹角，其中，为非零向量长度问题数量积的定义，其中为非零向量答案用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为种运算工具，经常与函数不等式三角函数数列解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数不等式三角函数数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种是利用平面向量平行或垂直的充要条件二是利用向量数量积的公式和性质判断下面结论是否正确请在括号中打或“”若，则三点共线向量在向量方向上的投影是向量若，则和的夹角为锐角，若，则和的夹角为钝角在中，若，则为钝角三角形思考辨析答案已知平面直角坐标系内有三个定点若动点满足，，则点的轨迹方程是答案解析因为，所以已知等边的边长为，则考点自测解析答案已知在中，为边的中点，则又，解析在中，由余弦定理可得，所以，又为边的中点，所以，两边平方得，解得解析答案设是内部点，且，则与的面积之比为解析设为的中点，如图所示，连结，则又，所以，即为的中点，从而容易得与的面积之比为∶∶解析答案已知个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为，则力所做的功解析解析答案已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则显然的长度为半个周期，周期，解析所求值为解析答案返回题型分类深度剖析例已知是平面上的定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的填“内心”“外心”“重心”或“垂心”解析由原等式，得，即，根据平行四边形法则，知是的中线为的中点重心所对应向量的倍，所以点的轨迹必过的重心题型向量在平面几何中的应用解析答案引申探究在本例中，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分，即平分，所以点的轨迹必过的内心内心解析答案思维升华在平行四边形中