，则关于对称若对于任意都有，则的周期为例已知函数是，上的奇函数，且的图象关于直线对称，当,时则解析由是，上的奇函数且的图象关于直线对称，知的周期为定义在上的函数满足当时当时则„解析由可知，函数的个周期为，所以所以在个周期内有„，所以„„答案点评利用函数的周期性对称性可以转化函数解析式图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解变式训练已知定义在上的偶函数满足，且当,时，单调递减，给出以下四个命题为函数图象的条对称轴函数在,上单调递增若方程在，上的两根为则则所有正确命题的序号为解析令，得又函数是偶函数，故，正确根据可得，可得函数的周期是，由于偶函数的图象关于轴对称，故也是函数图象的条对称轴，正确根据函数的周期性可知，函数在,上单调递减，不正确由于函数的图象关于直线对称，故如果方程在区间，上的两根为则，即，正确故正确命题的序号为答案题型三分段函数例已知函数时，有，即若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围解由知，如图当时当，时，单调递减当,时，单调递增当时当，时，单调递减当,时，单调递增综上知函数在,上单调递增又函数在区间，上单调递增解得故实数的取值范围是,点评分段函数是个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数在求分段函数解析式时，定要首先判断属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式变式训练浙江设函数若，则实数的取值范围是解析的图象如图，由图象知，满足时，得，而满足时，得高考，故选高考题型精练山东函数的定义域为，，，，高考题型精练解析由题意知，，解得或故选答案高考题型精练江西已知函数，若，则等于高考题型精练解析由题意得，答案下列函数中，满足“∀，，，且”的是高考题型精练解析“∀，，，且，”等价于在，上为减函数，易判断符合函数的图象关于直线对称，当，时高考题型精练解析因为函数的图象关于直线对称，所以关于轴对称所以函数为奇函数因为，所以当，时，函数单调递减，从而当，时，函数单调递减高考题型精练高考题型精练因为答案高考题型精练设函数，，，，则的值域是，，，，，，解析由由得，高考题型精练，高考题型精练即，当当时当，，时，函数的值域为，高考题型精练当时，当,时，函数的值域为，综上可知，的值域为，，答案对实数和，定义运算“⊗”⊗设函数⊗，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是高考题型精练，，，，，，高考题型精练解析，，即高考题型精练的图象如图所示，由图象可知正确答案高考题型精练安徽若函数是周期为的奇函数，且在,上的解析式为，则解析是以为周期的奇函数，，高考题型精练当时当时高考题型精练又是奇函数，，答案对于任意实数定义，设函数则函数，的最大值是高考题型精练解析依题意，得，当时，是减函数，在时取得最大值已知函数其中表示不超过的最大整数若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是解析根据表示的意义可知，当时当时高考题型精练当时以此类推，当时，当时作出函数的图象如图，直线过点高考题型精练专题函数与导数第练抓重点函数性质与分段函数题型分析高考展望函数单调性奇偶性周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力常考题型精析高考题型精练题型函数单调性奇偶性的应用题型二函数的周期性与对称性的应用题型三分段函数常考题型精析题型函数单调性奇偶性的应用常用结论设则⇔⇔在，上递增⇔⇔在，上递减若和都是增函数，则也是增函数，是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断定义域不关于原点对称的函数定是非奇非偶函数奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数例湖北已知函数是定义在上的奇函数，当时，若∀则实数的取值范围为解析因为当时所以当时当时当时，综上，函数在时的解析式等价于，因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图象如图，观察图象可知，要使∀则需满足，解得答案课标全国Ⅱ已知偶函数在，上单调递减，若，则的取值范围是解析是偶函数，图象关于轴对称又，且在，单调递减，则的大致图象如图所示，由，得，即,点评奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象函数值解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分半区间上，这是简化问题的种途径尤其注意偶函数的性质单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯性变式训练天津已知定义在上的函数为实数为偶函数，记，则的大小关系为解析由函数为偶函数，得当时，为增函数故选答案北京下列函数中为偶函数的是解析由，且定义域关于原点对称，可知为奇函数，为偶函数，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论若对于定义域内的任意，都有，则关于对称若对于任意都有，则的周期为例已知函数是，上的奇函数，且的图象关于直线对称，当,时则解析由是，上的奇函数且的图象关于直线对称，知的周期为定义在上的函数满足当时当时则„解析由可知，函数的个周期为，所以所以在个周期内有„，所以„„答案点评利用函数的周期性对称性可以转化函数解析式图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解变式训练已知