答案，，，，已知向量，满足，且关于的函数在上单调递减，则向量，夹角的取值范围是解析设向量，的夹角为，因为，所以，解得，又函数在上单调递减，所以在上恒成立，所以，因为，且，所以，解得，因为所以向量，的夹角的取值范围是故选答案点评求向量的夹角时要注意向量的数量积不满足结合律，数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于说明两向量的夹角为直角，数量积小于且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角变式训练若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为解析方法由已知，得，将等式两边分别平方，整理可得由已知，得，将等式两边分别平方，可得将代入，得，即而，故又，所以，故选方法二如图，作以，为邻边作平行四边形，则，由，可得，所以平行四边形是矩形，从而在中故，所以从而，，故选答案题型三利用数量积求向量的模所以已知直角梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为解析方法以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设的最小值为方法二设的最小值为答案点评把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量求向量的模只需利用公式即可求解向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量的模进行如下转化变式训练浙江已知，是空间单位向量，若空间向量，要使取得最小值，需要把看成关于的二次函数，即，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，所以当时，取得最小值，代入化简得，显然当时此时，所以，此时，可得方法二，不妨设由题意知，解得，此时，故由题意知，当，时，取到最小值答案高考题型精练山东已知菱形的边长为，，则等于解析如图所示，由题意，得高考题型精练答案高考题型精练浙江记，设，为平面向量，则，高考题型精练解析由于，与，的大小关系与夹角大小有关，故，错当，夹角为锐角时，此时，当，夹角为钝角时当⊥时故选答案高考题型精练湖南已知点在圆上运动，且⊥若点的坐标为则的最大值为解析在圆上，且⊥，为圆直径，故高考题型精练则且设，故，时有最大值，故选答案高考题型精练如图，在等腰直角中为上靠近点的四等分点，过作的垂线，为垂线上任点，设则等于，高考题型精练则解析以，所在直线分别作为轴，轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，直线的方程为，即高考题型精练设则而所以答案高考题型精练在平面上，⊥若，则的取值范围是高考题型精练又⊥所以点在以为直径的圆上，当与点重合时，取得最大值，当在半径为的圆周上时，取得最小值，故选答案高考题型精练如图所示，中，且，点满足，则等于解析在中，因为且，所以，且高考题型精练因为，所以所以答案高考题型精练安徽设，为非零向量两组向量，和，均由个和个排列而成若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为高考题型精练记，解析设与的夹角为，由于均由个和个排列而成，则有以下三种情况，专题三角函数与平面向量第练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析高考展望平面向量数量积的运算是平面向量的种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定夹角模等问题，另外还可以解决平面几何立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查常考题型精析高考题型精练题型平面向量数量积的基本运算题型二利用平面向量数量积求两向量夹角题型三利用数量积求向量的模常考题型精析题型平面向量数量积的基本运算例天津已知菱形的边长为，，点，分别在边，上若，则的值为解析如图，又答案已知圆的半径为为该圆的两条切线为切点，那么的最小值为解析方法设，，则，从而，当且仅当，即时取等号，故的最小值为方法二设则令，则，当且仅当，即时取等号故的最小值为则，方法三以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为，设由⊥⇒，⇒，又，从而所以故的最小值为答案点评平面向量数量积的运算有两种形式是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量，的数量积与代数中，的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”向量的数量积运算需要注意的问题时得不到或，根据平面向量数量积的性质有，但变式训练湖北已知向量⊥则解析因为⊥，所以所以题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例重庆若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为又，解析由⊥得，即设即，又，答案，，，，已知向量，满足，且关于的函数在上单调递减，则向量，夹角的取值范围是解析设向量，的夹角为，因为，所以，解得，又函数在上单调递减，所以在上恒成立，所以，因为，且，所以，解得，因为所以向量，的夹角的取值范围是故选答案点评求向量的夹角时要注意向量的数量积不满足结合律，数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于说明两向量的夹角为直角，数量积小于且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角变式训练若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为解析方法由已知，得