程为，求出即得双曲线方程变式训练山东已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为解析由题意知又即，令，解得，解得答案题型二双曲线的离心率问题例湖北将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则对任意的当时，当时，解析由题意双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为，且，，所以当时，，即又，所以由不等式的性质依次可得,，所以，即同理，当时，答案已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点，若，则双曲线的离心率为解析如图，设的中点为，由可知⊥，又在以为直径的圆上，又在直线上答案变式训练湖南如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为双曲线的左右焦点分别为，离心率为已知，且解因为，求，的方程所以，即，因此，从而故，的方程分别为，所以，以，解所以，故，从而双曲线的离心率如图，为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点，分别在第四象限，且的面积恒为试探究是否存在总与直线有且只有个公共点的双曲线若存在，求出双曲线的方程若不存在，请说明理由解方法由知，双曲线的方程为设直线与轴相交于点所以，当⊥轴时，若直线与双曲线有且只有个公共点，则，又因为的面积为，因此，解得，此时双曲线的方程为则的方程只能为若存在满足条件的双曲线，双曲线也满足条件以下证明当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，依题意，得或，则，记，由得，同理，得由，得，即由得因为，所以又因为，因此，存在总与有且只有个公共点的双曲线，且的方程为所以，即与双曲线有且只有个公共点方法二由知，双曲线的方程为依题意得设直线的方程为由得，同理，得设直线与轴相交于点，则,由，得所以由得因为，直线与双曲线有且只有个公共点当且仅当，即，即，即，所以，因此，存在总与有且只有个公共点的双曲线，且的方程为点评解决此类问题是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围变式训练浙江设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点,满足，则该双曲线的离心率是解析双曲线的渐近线方程为由，得由，得所以的中点的坐标为，设直线，因为，所以⊥，所以，化简得所以在双曲线中答案课标全国Ⅰ已知，是双曲线上的点是的两个焦点，若，则的取值范围是，，，，高考题型精练高考题型精练解析由题意知，高考题型精练即点，在双曲线上即，故选答案专题解析几何第练双曲线的渐近线和离心率问题题型分析高考展望双曲线作为三种圆锥曲线之，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线考查形式除常考的解答题外，也会在选择题填空题中考查，般为中等难度熟练掌握两种性质的求法用法是此类问题的解题之本常考题型精析高考题型精练题型双曲线的渐近线问题题型二双曲线的离心率问题题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题常考题型精析题型双曲线的渐近线问题例重庆设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为解析双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率答案解设因为，所以，求双曲线的方程直线的方程为，直线的方程为，解得，又直线的方程为，则又因为⊥，所以，解得，故双曲线的方程为解由知，则直线的方程为，即过上点，的直线与直线相交于点，与直线相交于点证明当点在上移动时，恒为定值，并求此定值因为直线的方程为，所以直线与的交点为直线与直线的交点为，则因为，是上点，则，代入上式得，即所求定值为点评在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由⇔⇔，所以可以把标准方程中的用替换即可得出渐近线方程已知双曲线渐近线方程，可设双曲线方程为，求出即得双曲线方程变式训练山东已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为解析由题意知又即，令，解得，解得答案题型二双曲线的离心率问题例湖北将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则对任意的当时，当时，解析由题意双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为，且，，所以当时，，即