试讨论的单调性解，令，解得，当时，因为，所以函数在，上单调递增当时，，，时，时，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减当时，，，时，时所以函数在，上单调递增，在，上单调递减若实数是与无关的常数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值解由知，函数的两个极值为，，，，，则函数有三个零点等价于，从而，或，又，所以当时，或当时，设，的取值范围恰好是，，，，则在，上，且在，，上均恒成立因为函数有三个零点时，从而，且，因此此时因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得，，，综上题型三根据图形位置或形状分类讨论例在约束条件，下，当时，的最大值的变化范围是解析由，⇒取点,当时，可行域是四边形，如图所示，此时当时，此时可行域是，如图所示，综上，最大值的变化范围是,答案点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论二次函数对称轴的变化函数问题中区间的变化函数图象形状的变化直线由斜率引起的位置变化圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化立体几何中点线面的位置变化等变式训练设为椭圆的两个焦点，为椭圆上点，已知是个直角三角形的三个顶点，且，求的值解若，则，又，，解得，，若，则，，又，，，综上知，或高考题型精练对于上可导的任意函数，若满立高考题型精练若任意函数不是常函数时，当时，函数在，上是增函数当，综上，则有答案高考题型精练已知数列的前项和是常数，则数列是等差数列等比数列等差数列或等比数列以上都不对高考题型精练解析，当且时，是等比数列当时，是等差数列当时，此时既不是等差数列也不是等比数列答案高考题型精练已知变量，满足的不等式组表示的是个直角三角形围成的平面区域，则实数等于或高考题型精练解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，高考题型精练由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线与直线垂直如图或直线与直线垂直如图时，平面区域才是直角三角形高考题型精练高考题型精练四川设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点则的取值范围是高考题型精练解析由动直线知定点的坐标为由动直线知定点的坐标为且两直线互相垂直，故点在以为直径的圆上运动故当点与点或点重合时，取得最小值，高考题型精练所以，当点与点或点不重合时，在中，有因为，所以，当且仅当时取等号，高考题型精练所以，所以的取值范围是，答案高考题型精练抛物线的焦点为，为其上的点，为坐标原点，若为等腰三角形，则这样的点的个数为解析当时，点在线段的中垂线上，此时，点的位置有两个当时，点的位置也有两个对的情形，点不存在事实上，高考题型精练若设则，，若，则有，又解得或，当时，不构成三角形当时，与点在抛物线上矛盾符合要求的点共有个答案高考题型精练在等比数列中，已知则解析当时，显然成立当时，由题意，得，高考题型精练所以，，由，得，即，所以或舍去高考题型精练当时，综上可知，或答案或高考题型精练已知函数对于,总有成立，则解析若，则不论取何值，显然成立当即,时，可化为设，则，高考题型精练所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此，从而当即,时，可化为，高考题型精练令，，在区间，上单调递增，因此，从而，综上得答案高考题型精练浙江若程序框图如图所示，当输入时，则该程序运行后输出的结果是解析输入，由于所以此时不满足当时此时不满足高考题型精练当时此时不满足当时此时不满足当时此时满足，因此输出答案高考题型精练已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为求抛物线的方程解抛物线的准线为，由题意得，所以，所以抛物线的方程为专题数学思想方法第练分类讨论思想思想方法解读分类讨论思想是种重要的数学思想方法，其基本思路是将个较复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略中学数学中可能引起分类讨论的因素由数学概念而引起的分类讨论如绝对值的定义不等式的定义二次函数的定义直线的倾斜角等由数学运算要求而引起的分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以个正数负数，三角函数的定义域，等比数列的前项和公式等由性质定理公式的限制而引起的分类讨论如函数的单调性基本不等式等由图形的不确定性而引起的分类讨论如二次函数图象指数函数图象对数函数图象等由参数的变化而引起的分类讨论如些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等进行分类讨论要遵循的原则是分类的对象是确定的，标准是统的，不遗漏不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论其中最重要的条是“不重不漏”解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统不重不漏分类互斥没有重复再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果最后进行归纳小结，综合得出结论常考题型精析高考题型精练题型由概念公式法则计算性质引起的分类讨论题型二分类讨论在含参函数中的应用题型三根据图形位置或形状分类讨论常考题型精析题型由概念公式法则计算性质引起的分类讨论例设集合，，，若⊆，求实数的取值范围解⊆，于是可分为以下几种情况当时，由根与系数的关系，得解得当时，又可分为两种情况当∅时，即或，当时，有当时，有或又由，解得，此时满足条件当∅时，解得综合知，所求实数的取值范围为或点评对概念公式法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，⊆，包括∅和∅两种情况解答时就应分两种情况讨论，在关于指数对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素解析若，有此时此时在，上为减函数，不合题意若，有此时检验知符合题意题型二分类讨论在含参函数中的应用例已知函数在,上有最大值，求的值解函数，对称轴方程为当时舍当时当时综上可知，或点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出的值变式训练江苏已知函数，试讨论的单调性解，令，解得，当时，因为，所以函数在，上单调递增当时，，，时，时，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减当时，，，时，时所以函数在，上单调递增，在，上单调递减若实数是与无关的常数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值解由知，函数的两个极值为，，，，，则函数有三个零点等价于，从而，或，又，所以当