,⊥棱柱是直三棱柱，⊥平面，是平面的个法向量，且⊄平面，平面设平面与平面的个法向量分别为，由得解得令，则同理可得，平面⊥平面方法二向量与向量，共面，又⊄平面，平面由题意知，两两垂直⊥，⊥，又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的条直线和平面内的条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线，只需证明向量即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点求证平面证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，连接，则，又⊂平面，⊄平面故平面⊥平面证明，⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，⊥平面热点二利用空间向量求空间角设直线，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，以下相同线线夹角设，的夹角为，则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，面面夹角设平面的夹角为，则，例江苏如图，在四棱锥中，已知⊥平面，且四边形为直角梯形，求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长解以，取，得平面的个法向量设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在些确定条件下的数学对象数值图形函数等是否存在或结论是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设否则，给出肯定结论例如图，在直三棱柱中，是的中点求证平面证明连接，交于点，连接由是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点又为的中点，所以为的中位线，所以因为⊂平面，⊄平面,所以平面求二面角的余弦值解由是直三棱柱，且，得两两垂直以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以,设平面的法向量为，则有所以，取，得易知平面的个法向量为所以，因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为试问线段上是否存在点，使与成角若存在，确定点位置若不存在，说明理由解假设存在满足条件的点因为点在线段上，故可设，其中所以，因为与成角，所以即，解得或舍去所以当点为线段的中点时，与成角思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图论证推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单有效，应善于运用这方法跟踪演练如图所示，四边形是边长为的正方形，⊥平面，⊥平面，且，为的中点求异面直线与所成角的余弦值解如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为在线段上是否存在点，使得⊥平面若存在，求线段的长若不存在，请说明理由解假设在线段上存在点，使得⊥平面因为，可设，又，所以由⊥平面，得，即，，故，此时，经检验，当时，⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面，此时高考押题精练如图，五面体中，四边形是矩形，，⊥平面，且，分别为的中点求证平面求二面角的余弦值押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间向量的建系求法向量求角等知识，是高考的重点和热点证明连接，四边形是矩形，且为的中点，为的中点，又在中，为的中点，，⊂面，⊄面，平面解如图，取的中点，则⊥，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则,可得设平面的法向量为，则故即，第讲立体几何中的向量方法专题五立体几何与空间向量高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验课标全国Ⅱ直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为解析方法补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图，取的中点，连接，由于綊綊，因此有綊，则与所成的角即为异面直线与所成的角设，则，因此答案安徽如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于证明证明由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又⊂面，⊄面，于是面又⊂面面∩面，所以求二面角的余弦值以为原点，分别以为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，解因为四边形均为正方形，所以⊥，⊥，⊥且可得点的坐标而点为的中点，所以点的坐标为设面的法向量，而该面上向量由⊥，⊥得应满足的方程组为其组解，所以可取设面的法向量，而该面上向量由此同理可得所以结合图形知二面角的余弦值为考情考向分析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上热点利用向量证明平行与垂直热点分类突破设直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则有线面平行⇔⊥⇔⇔线面垂直⊥⇔⇔⇔面面平行⇔⇔⇔面面垂直⊥⇔⊥⇔⇔例如图，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点运用向量方法证明平面平面⊥平面证明方法由题意，得两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为，则，，,⊥棱柱是直三棱柱，⊥平面，是平面的个法向量，且⊄平面，平面设平面与平面的个法向量分别为，由得解得令，则同理可得，平面⊥平面方法二向量与向量，共面，又⊄平面，平面由题意知，两两垂直，