两个三角形相似相似三角形的性质相似三角形对应高的比对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方直角三角形的射影定理直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项圆周角定理圆上条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形判定定理如果个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似,则进行线段替换，，，平分解连接，由得，由同圆或等圆中圆周角相等所对弧及弦也相等可知四点共圆是圆的直径，是直角热点二四点共圆的判定及性质微题型四点共圆的判定例如图，已知的两条角平分线和相交于，，在上，且证明四点共圆平分证明在中，因为，所以因为是角平分线，所以，故于是因为，所以四点共圆连接，则为的平分线，得由知四点共圆，所以又，由已知可得⊥，可得所以平分探究提高如果四点与定点距离相等，那么这四点共圆如果四边形的组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆如果四边形的个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆微题型考查四点共圆的性质例如图所示，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点证明，四点共圆求的大小证明连接，与相切于，⊥，又是的弦的中点，⊥，于是，由圆心在的内部，可知四边形的对角互补四点共圆解由得，四点共圆，可知，又⊥，由圆心在的内部，可知，探究提高利用四点共圆的性质可解决角的相等，或结合切割线定理解决线段成比例问题训练如图，已知在中是外接圆劣弧︵上的点不与点，重合，延长至求证的延长线平分若，中边上的高为，求外接圆的面积证明如图，设为延长线上点四点共圆，又，，且，又，故，即的延长线平分解设为外接圆圆心，连接并延长交于，则⊥连接，由题意，，设圆半径为，则，得，外接圆的面积为第讲几何证明选讲高考定位高考对本内容的考查主要有三角形及相似三角形的判定与性质圆的相交弦定理，切割线定理圆内接四边形的性质与判定相交弦定理，本内容考查属级要求真题感悟江苏卷如图，在中的外接圆的弦交于点求证证明因为，所以又因为，所以，又为公共角，可知江苏卷如图，是圆的直径是圆上位于异侧的两点证明证明因为，是圆上的两点，所以故又因为，是圆上位于异侧的两点，故，为同弧所对的两个圆周角，所以因此考点整合相似三角形的判定定理判定定理对于任意两个三角形，如果个三角形的两个角与另个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定定理对于任意两个三角形，如果个三角形的两边和另个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理对于任意两个三角形，如果个三角形的三条边和另个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似相似三角形的性质相似三角形对应高的比对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方直角三角形的射影定理直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项圆周角定理圆上条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形判定定理如果个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似,则进行线段替换或等比替换圆幂定理与圆周角弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用热点三角形相似的判定及应用微题型利用弦切角定理证明三角形相似例如图，已知圆上的弧︵︵，过点的圆的切线与的延长线交于点证明证明因为︵︵