列等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现错位相减法适用于各项由个等差数列和个等比数列对应项的乘积组成的数列把„两边同乘以相应等比数列的公比,得到„，两式错位相减即可求出裂相相消法即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如其中是各项均不为零的等差数列，为常数的数列拆项分组法把数列的每项拆成两项或多项，再重新组合成两个或多个简单的数列，最后分别求和并项求和法与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项或多项组合在起，重新构成个数列再求和，般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论数列单调性的常见题型及处理方法如下求最大小项时,可利用数列单调性函数单调性导数求参数范围时,可利用作差法同号递推法先猜后证法数列中的不等式问题主要有证明数列不等式比较大小或恒成立问题，解决方法如下利用数列或函数的单调性放缩法先求和后放缩先放缩后求和，包括放缩后成等差或等比数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消后再求和数学归纳法热点有关数列中计算的综合问题例江苏卷设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意的整数，当整数时，都成立设求的值设求数列的通项公式解由题设知，当时即，从而又，故当时，所以的值为由题设知，当，且时，且，两式相减得，即，所以当时，成等差数列，且，也成等差数列从而当时且所以当时即于是当时成等差数列，从而，故由式知，即当时，设当时从而由式知，故从而，于是因此，对任意都成立又由，可知故且解得，从而又由，故因此，数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为探究提高此类问题看似简单，实际复杂，思维量和计算量较大，难度较高训练江苏卷已知各项均为正数的两个数列和满足，设，，求证数列是等差数列设，，且令则下证是“数列”设的前项和为，则，于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“数列”同理可证也是“数列”所以，对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立热点三数列中的探索性问题例泰州期末设数列的前项积为，已知对∀，，当时，总有是常数求证数列是等比数列设正整数成等差数列，试比较和的大小，并说明理由探究命题“对∀,，当时，总有是常数”是命题“数列是公比为的等比数列”的充要条件吗若是，请给出证明若不是，请说明理由证明设，则有，因为，所以有，即，所以当时，所以数列是等比数列解当时,,所以,所以，当时„„，所以因为且,所以，，所以若，则若，则解由知，充分性成立必要性若数列成等比数列，则，所以当时，则，所以，“对∀，，当时总有成立同理可证当时也成立所以命题是命题的充要条件探究提高数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法另外探索充要条件要从充分性必要性两个方面判断与寻找训练徐州质检已知数列，满足，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式设数列满足，对于给定的正整数，是否存在正整数使得成等差数列若存在，试用表示若不存在，请说明理由证明因为，所以，则，所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，即，所以解由知，所以当时若成等差数列，则，因为，所以所以式不成立当时，若成等差数列，则，所以，即，所以，欲满足题设条件，只需，此时，因为，所以即综上所述，当时，不存在，满足题设条件当时，存在满足题设条件数列与不等式综合问题如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法放缩法基本不等式的应用如果是解不等式，注意因式分解的应用数列与函数的综合问题函数条件的转化直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量换为即可数列向函数的转化可将数列中的问题转化为函数问题，但要注意函数定义域数列中的探索性问题处理探索性问题的般方法是假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解第讲数列的综合应用高考定位高考对本内容的考查主要有通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题求数列的通项公式及其前项和的基本的几种方法数列与函数不等式的综合问题题型般为解答题，且为压轴题真题感悟江苏卷设，是各项为正数且公差为的等差数列证明，依次构成等比数列是否存在使得，依次构成等比数列并说明理由是否存在，及正整数使得，依次构成等比数列并说明理由证明因为是同个常数，所以，依次构成等比数列，解不存在，理由如下令，则，分别为，假设存在使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且，，化简得，且将代入式则显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在使得，依次构成等比数列解不存在，理由如下假设存在，及正整数使得，依次构成等比数列，则,且分别在两个等式的两边同除以及，并令，，则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得令，则令，则令，则令，则由知，在，和，上均单调故只有唯零点，即方程只有唯解，故假设不成立所以不存在，及正整数使得，依次构成等比数列考点整合数列求和的常用方法公式法直接利用等差数列等比数列的求和公式求解倒序相加法适用于与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，且和为常数的数列等差数列前项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前项和时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以得到个常数列，或者等差数列等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现错位相减法适用于各项由个等差数列和个等比数列对应项的乘积组成的数列把„两边同乘以相应等比数列的公比,得到„，两式错位相减即可求出裂相相消法即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如其中是各项均不为零的等差数列，为常数的数列拆项分组法把数列的每项拆成两项或多项，再重新组合成两个或多个简单的数列，最后分别求和并项求和法与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项或多项组合在起，重新构成个数列再求和，般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论数列单调性的常见题型及处理方法如下求最大小项时,可利用数列单调性函数单调性导数求参数范围时,可利用作差法同号递推法先猜后证法数列中的不等式问题主要有证明数列不等式比较大小或恒成立问题，解决方法如下利用数列或函数的单调性放