，所以，，令，，当时，，当，时此时，函数单调递减当，时此时，函数单调递增当时，由,即,解得或，此时，所以当，时此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增，时此时，函数单调递减综上所述，当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减探究提高讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为个含有参数的元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制微题型已知单调性求参数的范围例重庆卷设函数若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点，处的切线方程若在，上为减函数，求的取值范围解对求导得，因为在处取得极值，所以，即当时，故从而在点，处的切线方程为，化简得由知令，由，解得，当时即，故为减函数当时即，故为增函数当时即，故为减函数由在，上为减函数，知，解得，故的取值范围为，探究提高当不含参数时，可通过解不等式或直接得到单调递增或递减区间已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件或，，恒成立，解出参数的取值范围般可用不等式恒成立的理论求解，应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围训练函数讨论的单调性若在区间，上是增函数，求的取值范围解，的判别式若，则，且当且仅当故此时在上是增函数由于，故当时，有两个根若，则当，或，时故分别在，上是增函数当，时故在，上是减函数若，则当，或，时故分别上单调递增故函数的单调增区间为，，无单调减区间当时，对∀都有，故，故而所以，探究提高含参数的函数的极值最值问题常在以下情况下需要分类讨论导数为零时自变量的大小不确定需要讨论导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论微题型与极值点个数有关的参数问题例常州调研已知函数，，是的导函数为自然对数的底数若有两个极值点求实数的取值范围解法若有两个极值点则，是方程的两个根，显然，故，令，则若，则单调递减，且若，当时在，上递减，当时在，上递增，要使有两个极值点，则需满足在，上有两个不同解，故，即，故的取值范围为，法二设，则，且，是方程的两个根，当时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根当时，由得，当，时单调递增当，时单调递减解得故的取值范围是，探究提高极值点的个数，般是使方程根的个数，般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究训练山东卷改编设函数，其中讨论函数极值点的个数，并说明理由解由题意知，函数的定义域为，，令，，当时此时，函数在，上单调递增，无极值点当时，当时函数在，上单调递增，无极值点当时设方程的两根为因为解方程并计算得，所以，由，可得所以当，时，函数单调递增当，时，函数单调递减当，时，函数单调递增因此函数有两个极值点当时由，可得当，时，函数单调递增当，时，函数单调递减所以函数有个极值点综上所述，当时，函数有个极值点当时，函数无极值点当时，函数有两个极值点如果个函数具有相同单调性的区间不止个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开可导函数在闭区间，上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点处的函数值中的最大值与最小值可导函数极值的理解函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值对于可导函数，“在处的导数”是“在处取得极值”的必要不充分条件注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数大小根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论求函数的极值最值问题，般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论数形结合的思想第讲导数与函数的单调性极值最值问题高考定位高考对本内容的考查主要有导数的运算是导数应用的基础，要求是级，熟练掌握导数的四则运算法则常用导数公式及复合函数的导数运算，般不单独设置试题，是解决导数应用的第步利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度真题感悟南通调研已知为实常数，是定义在，，上的奇函数，且当时，求函数的单调区间若对切成立，求的取值范围解由奇函数的对称性可知，我们只要讨论在区间，上的单调性即可，令，得当时所以在区间，上单调递增当时，，所以在区间，上单调递增，所以在区间，上单调递减综上所述，当时，单调递增区间为，当时，单调增区间为，，单调减区间为，因为为奇函数，所以当时，当时，要使对切成立，即对切成立而当时，有，所以，则与矛盾所以不成立当时，对切成立，故满足题设要求当时，由可知在，上是减函数，在，上是增函数，所以，所以时也满足题设要求综上所述，的取值范围是，考点整合导数与函数的单调性函数单调性的判定方法设函数在个区间内可导，如果，则在该区间为增函数如果，则在该区间为减函数函数单调性问题包括求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法极值的判别方法当函数在点处连续时，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者热点导数与函数的单调性微题型求含参函数的单调区间例苏北四市调研已知函数，当时，求函数的单调区间当时，讨论的单调性解当时，，所以，，由，得或舍去，所以当，时函数单调递减当，时函数单调递增故当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，因为，所以，，令，，当时，，当，时此时，函数单调递减当，时此时，函数单调递增当时，由,即,解得或，此时，所以当，时此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增，时此时，函数单调递减综上所述，当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减探究提高讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为个含有参数的元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式