线的斜率为，求的切线方程设切点通过方程解得，再由点斜式写出方程已知切线上点非切点，求的切线方程设切点利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程组解得，再由点斜式或两点式写出方程三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点，且的函数的零点分布情况如下的符号零点个数充要条件为极大值，为极小值个两个或者三个且为极小值，为极大值个两个或者三个且研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数热点函数图象的切线问题例衡水中学模拟在平面直角坐标系中，设是曲线与曲线的个公共点，若在处的切线与在处的切线互相垂直，则实数的值是镇江监测若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则实数的值为解析设则在处的切线的斜率为，在处的切线的斜率为，又在处的切线与在处的切线互相垂直，所以，即，又，所以，代入，得，将，代入，得因为所以曲线，在处的切线斜率分别是，又两切线互相垂直，所以，解得答案探究提高求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点利用导数的几何意义解题，主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化以平行垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行垂直与斜率之间判断曲线在点，处的切线与曲线的公共点个数当，时，若函数有两个零点，求的取值范围解，所以切线斜率又，曲线在点，处的切线方程为由，⇒由可知当时，即或时，有两个公共点当时，即或时，有个公共点当时，即时，没有公共点，由，得令，则当，时，由，得所以在，上单调递减，在，上单调递增，因此由比较可知，所以，结合函数图象可得，当时，函数有两个零点探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域求导数，得单调区间和极值点画出函数草图数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解训练已知函数若曲线在点，处与直线相切，求与的值若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围解由，得因为曲线在点，处与直线相切，所以，解得，令，得与的情况如下↘↗所以函数在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，是的最小值当时，曲线与直线最多只有个交点当时，所以存在使得由于函数在区间，和，上均单调，所以当时曲线与直线有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么的取值范围是，求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式，它的难点在于分清“过点的切线”与“在点处的切线”的差异突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点，的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点，处的切线，必以点为切点，则此时切线的方程是我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解直线与函数图象的交点两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题研究函数图象的交点方程的根函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路,因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数方程不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形转化能力因此在高考压轴题中占有比较重要的地位第讲导数与函数图象的切线及函数零点问题高考定位高考对本内容的考查主要有导数的几何意义是考查热点，要求是级，理解导数的几何意义是曲线上在点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另热点真题感悟江苏卷已知函数，试讨论的单调性若实数是与无关的常数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，，，，求的值解，令，解得，当时，因为，所以函数在，上单调递增当时，，，时，时所以函数在，上单调递增，在，上单调递减当时，，，时，时所以函数在，上单调递增，在，上单调递减由知，函数的两个极值为，，则函数有三个零点等价于，从而，或，又，所以当时，或当时，设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，，，，则在，上，且在，，上均恒成立从而，且，因此此时因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得，，，综上考点整合求曲线的切线方程的三种类型及方法已知切点求过点的切线方程求出切线的斜率，由点斜式写出方程已知切线的斜率为，求的切线方程设切点通过方程解得，再由点斜式写出方程已知切线上点非切点，求的切线方程设切点利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程组解得，再由点斜式或两点式写出方程三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点，且的函数的零点分布情况如下的符号零点个数充要条件为极大值，为极小值个两个或者三个且为极小值，为极大值个两个或者三个且研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数热点函数图象的切线问题例衡水中学模拟在平面直角坐标系中，设是